rút gọn $\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Hướng dẫn thủ thuật :

Đặt $ : (a + b\sqrt{5})^{3} = 9 + 4\sqrt{5} (*)$
$ <=> a^{3} + 3a^{2}b\sqrt{5} + 15ab^{2} + 5b^{3}\sqrt{5} = 9 + 4\sqrt{5}$
$ => a^{3} + 15ab^{2} = 9 (1); 3a^{2}b + 5b^{3} = 4 (2)$
Đây là HPT đẳng cấp đối với $ a; b$. 

Lấy $ 4.(1) - 9.(2)$ có PT đẳng cấp:

$ 4a^{3} - 27a^{2}b + 60ab^{2} - 45b^{3} = 0 (**)$

Chia PT cho $b^{3} $ và đặt $ t = \dfrac{a}{b}$ thì được:

$ 4t^{3} - 27t^{2} + 60t - 45 = 0$
$ <=> (t - 3)(4t^{2} - 15t + 15) = 0$
$ <=> t = 3 => \dfrac{a}{b} = 3 <=> a = 3b$
Thay vào $(1)$ hoặc $ (2) => b = \dfrac{1}{2}; a = \dfrac{3}{2}$
KL : Khi gặp dạng nầy các cậu cứ theo cách trên mà làm 

Lưu ý: PT (**) luôn chỉ có 1 nghiệm duy nhất

vì cách biểu diễn $ (*)$ là duy nhất