Qua điểm A cho trước nằm ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến AB,AC(B,C là các tiếp điểm), lấy điểm M trên cung nhỏ BC,vẽ MH vuông góc với BC, MI vuông góc với AC, MK vuông góc với AB a, CMcác tứ giác :BHMK,CHMI nội tiếp đường tròn b,CM:MH mũ 2 = MI . Mk

a)

Tứ giác $BHMK$ có $\widehat{MKB}=\widehat{MHB}=90{}^\circ $

Nên $\widehat{MKB}+\widehat{MHB}=180{}^\circ $

Do đó $BHMK$ là tứ giác nội tiếp

Tứ giác $CHMI$ có $\widehat{MIC}=\widehat{MHC}=90{}^\circ $

Nên $\widehat{MIC}+\widehat{MHC}=180{}^\circ $

Do đó $CHMI$ là tứ giác nội tiếp

b)

Ta có:

+ $\widehat{MHI}=\widehat{MCI}$ (vì $CHMI$ nội tiếp)

+ $\widehat{MCI}=\widehat{MBH}\,\left( =\dfrac{1}{2}\text{sđ}\,\overset\frown{CM} \right)$

+ $\widehat{MBH}=\widehat{MKH}$ (vì $BHMK$ nội tiếp)

Nên $\widehat{MHI}=\widehat{MKH}$

Tương tự, ta có:

+ $\widehat{MIH}=\widehat{MCH}$ (vì $CHMI$ nội tiếp)

+ $\widehat{MCH}=\widehat{MBK}\,\left( =\dfrac{1}{2}\text{sđ}\,\overset\frown{BM} \right)$

+ $\widehat{MBK}=\widehat{MHK}$ (vì $BHMK$ nội tiếp)

Nên $\widehat{MIH}=\widehat{MHK}$

Xét $\Delta MIH$ và $\Delta MHK$, ta có:

+ $\widehat{MIH}=\widehat{MHK}\left( cmt \right)$

+ $\widehat{MHI}=\widehat{MKH}\left( cmt \right)$

Nên $\Delta MIH\backsim\Delta MHK\left( g.g \right)$

Do đó $\dfrac{MI}{MH}=\dfrac{MH}{MK}$

Vậy $M{{H}^{2}}=MI.MK$