pt: mx-In(x)=0, tìm m để pt có nghiệm (2;3)

Đáp án:

$\dfrac{\ln2}{2} < m < \dfrac1e$

Giải thích các bước giải:

$mx - \ln x = 0$

$\Leftrightarrow m = \dfrac{\ln x}{x}\quad (*)$

$(*)$ là phương trình hoành độ giao điểm giữa đồ thị hàm số $y = \dfrac{\ln x}{x}$ và đường thẳng $y = m$

Xét $y = f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$

$\to y' = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$

$y' = 0 \Leftrightarrow x = e$

Ta có bảng biến thiên của $f(x):$

$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
x & 0 & & 2 & & & e & & & 3 & & +\infty\\
\hline
y' & & + & \vert& & + & 0 & - & &\vert& - &\\
\hline
&&&&&&\dfrac1e\\
&&&&&\nearrow&&\searrow\\
&&&\dfrac{\ln2}{2}&&&&&&\dfrac{\ln3}{3}\\
y & &\nearrow& && & && & &\searrow\\
&&&&&&&&&&&0\\
\hline
\end{array}$

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Phương trình có nghiệm thuộc $(2;3)$

$y = m$ cắt $y = \dfrac{\ln x}{x}$ trên $(2;3)$

$\Leftrightarrow \dfrac{\ln2}{2} < m < \dfrac1e$