π là số vô tỉ chứng minh

Xét các chuỗi hàm A_n và U_n từ {\displaystyle \mathbb {R} } tới {\displaystyle \mathbb {R} } cho {\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}} mà được định nghĩa bởi:

{\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}(x)&=\sin(x),&&A_{n+1}(x)=\int _{0}^{x}yA_{n}(y)\,dy\\[4pt]U_{0}(x)&={\frac {\sin(x)}{x}},&&U_{n+1}(x)=-{\frac {U_{n}'(x)}{x}}\end{aligned}}}

Sử dụng quy nạp chúng ta có thể chứng minh rằng

{\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}(x)&={\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!!}}-{\frac {x^{2n+3}}{2\times (2n+3)!!}}+{\frac {x^{2n+5}}{2\times 4\times (2n+5)!!}}\mp \cdots \\[4pt]U_{n}(x)&={\frac {1}{(2n+1)!!}}-{\frac {x^{2}}{2\times (2n+3)!!}}+{\frac {x^{4}}{2\times 4\times (2n+5)!!}}\mp \cdots \end{aligned}}}{\displaystyle U_{n}(x)={\frac {A_{n}(x)}{x^{2n+1}}}.\,}

Vì thế

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {A_{n+1}(x)}{x^{2n+3}}}&=U_{n+1}(x)=-{\frac {U_{n}'(x)}{x}}=-{\frac {1}{x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {A_{n}(x)}{x^{2n+1}}}\right)\\[6pt]&=-{\frac {1}{x}}\left({\frac {A_{n}'(x)\cdot x^{2n+1}-(2n+1)x^{2n}A_{n}(x)}{x^{2(2n+1)}}}\right)={\frac {(2n+1)A_{n}(x)-xA_{n}'(x)}{x^{2n+3}}}\end{aligned}}}

tương đương với

{\displaystyle A_{n+1}(x)=(2n+1)A_{n}(x)-x^{2}A_{n-1}(x).\,}

Sử dụng định nghĩa của chuỗi và sử dụng phép quy nạp, chúng ta có thể chứng minh được rằng

{\displaystyle A_{n}(x)=P_{n}(x^{2})\sin(x)+xQ_{n}(x^{2})\cos(x),\,}

Trong đó P_n và Q_n là các hàm đa thức có hệ số nguyên và bậc của P_n nhỏ hơn hoặc bằng ⌊n/ 2⌋. Cụ thể, A_n (π/2) = P_n (π²/4).

Hermite cũng đưa ra biểu thức đóng cho hàm A_n, cụ thể là

{\displaystyle A_{n}(x)={\frac {x^{2n+1}}{2^{n}n!}}\int _{0}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos(xz)\,\mathrm {d} z.\,}

Trước hết, khẳng định này tương đương với

{\displaystyle {\frac {1}{2^{n}n!}}\int _{0}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos(xz)\,\mathrm {d} z={\frac {A_{n}(x)}{x^{2n+1}}}=U_{n}(x).}

Tiến hành theo quy nạp, lấy n =  0.

{\displaystyle \int _{0}^{1}\cos(xz)\,\mathrm {d} z={\frac {\sin(x)}{x}}=U_{0}(x)}

và, đối với bước quy nạp, xem xét bất kỳ {\displaystyle n\in \mathbb {N} }. Nếu

{\displaystyle {\frac {1}{2^{n}n!}}\int _{0}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos(xz)\,\mathrm {d} z=U_{n}(x),}

Nếu π²/4 = p/q, với p và q thuộc {\displaystyle \mathbb {N} }, thì vì các hệ số của P_n là các số nguyên và bậc của nó nhỏ hơn hoặc bằng ⌊n/2⌋, q^{⌊ n / 2⌋}P_n(π ²/4) là một số nguyên N. Nói cách khác,

{\displaystyle N=q^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }A_{n}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=q^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {\left({\frac {p}{q}}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}}{2^{n}n!}}\int _{0}^{1}(1-z^{2})^{n}\cos \left({\frac {\pi }{2}}z\right)\,\mathrm {d} z.}

=> π là số vô tỉ