$\left \{ {{mx+4y=2} \atop {2x+(m+2)y=-1}} \right.$ Tìm m để hệ có nghhiệm duy nhất thỏa mãn `x+y=-1`

Đáp án + Giải thích các bước giải:

 Để hệ có nghiệm duy nhất thì:

`m/2 \ne 4/(m+2)`

`⇔ m(m+2)\ne4.2`

`⇔ m^2 + 2m\ne8`

`⇔ m^2+2m-8\ne0`

`⇔ m^2+4m-2m-8\ne0`

`⇔ m(m+4)-2(m+4)\ne0`

`⇔ (m+4)(m-2)\ne0`

`⇔{(m+4\ne0),(m-2\ne0):}`

`⇔ {(m\ne-4),(m\ne2):}`

Khi đó:

`{(mx+4y=2),(2x+(m+2)y=-1):}`

`⇔ {(2mx+8y=4),(2mx+(m+2)my=-m):}`

`⇔ {(2mx+8y=4),(2mx+(m^2+2m)y=-m):}`

`⇔ {((8-m^2-2m)y=4+m),(mx+4y=2):}`

`⇔ {((-m^2-4m+2m+8)y=4+m),(mx+4y=2):}`

`⇔ {({-m(m+4)+2(m+4)]y=m+4),(mx+4y=2):}`

`⇔` $\begin{cases} (m+4)(2-m)y=m+4\\mx+4y=2 \end{cases}$

`⇔` $\begin{cases} y=\dfrac{m+4}{(m+4)(2-m)}\\mx+4y=2 \end{cases}$

`⇔` $\begin{cases} y= \dfrac{1}{2-m}\\mx+\dfrac{4}{2-m}=2 \end{cases}$

`⇔` $\begin{cases} y= \dfrac{1}{2-m}\\mx=2-\dfrac{4}{2-m} \end{cases}$

`⇔` $\begin{cases} y= \dfrac{1}{2-m}\\mx=2-\dfrac{4}{2-m}=\dfrac{4-2m-4}{2-m}=\dfrac{-2m}{2-m} \end{cases}$

`⇔` $\begin{cases} y= \dfrac{1}{2-m}\\x=\dfrac{-2m}{2-m} : m= \dfrac{-2}{2-m} \end{cases}$

Để `x+y=-1` thì:

   ` (-2)/(2-m) + 1/(2-m)=-1`

`⇔ (-2+1)/(2-m)=-1`

`⇔ (-1)/(2-m)=-1`

`⇔ -1.(2-m)=(-1).1`

`⇔ m-2=-1`

`⇔ m=1` (thỏa mãn)

Vậy `m=1` thì hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn `x+y=-1`