Mọi người giúp em với ạ chiều em phải nộp rồi Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 CMR $\frac{a^{4} }{(a+2)(b+2)}$ + $\frac{b^{4} }{(b+2)(c+2)}$ + $\frac{c^{4} }{(c+2)(a+2)}$ $\geq$ $\frac{1}{3 }$

Đáp án+Giải thích các bước giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:

`a^4/ [(a+2)(b+2)] +(a+2)/27+(b+2)/27+1/9 >=4\root{4}{a^4/ [(a+2)(b+2)] . (a+2)/27 . (b+2)/27 . 1/9}`

`=4 \root{4}{a^4/9^4}=(4a)/9`

`-> a^4/ [(a+2)(b+2)] >= (4a)/9 -(a+2)/27-(b+2)/27-1/9=(11a)/27-b/27-7/27`

Tương tự:

`b^4/[(b+2)(c+2)] >=(11b)/27-c/27-7/27`

`c^4/[(c+2)(a+2)] >= (11c)/27-a/27-7/27`

`-> a^4/ [(a+2)(b+2)]+b^4/[(b+2)(c+2)] +c^4/[(c+2)(a+2)] >= (11a)/27-b/27-7/27+(11b)/27-c/27-7/27+ (11c)/27-a/27-7/27`

`-> a^4/ [(a+2)(b+2)]+b^4/[(b+2)(c+2)] +c^4/[(c+2)(a+2)] >= [11(a+b+c)]/27-(a+b+c)/27-21/27`

Thay `a+b+c=3`

`-> a^4/ [(a+2)(b+2)]+b^4/[(b+2)(c+2)] +c^4/[(c+2)(a+2)] >=33/27-3/27-21/27`

`-> a^4/ [(a+2)(b+2)]+b^4/[(b+2)(c+2)] +c^4/[(c+2)(a+2)] >=9/27=1/3`

`-> đpcm (= \text{khi}`  `a=b=c=1)`