M=$\frac{\sqrt[]{x}-3}{\sqrt[]{x}+3}$ Tìm x để M nguyên

Đáp án:

$x =$ {$0 ; 9$}

Giải thích các bước giải:

ĐKXĐ : $x ≥ 0$

Ta có : $M = \frac{\sqrt[]{x}-3}{\sqrt[]{x}+3}$

⇔ $M = \frac{\sqrt[]{x}+3-6}{\sqrt[]{x}+3}$

⇔ $M = 1 - \frac{6}{\sqrt[]{x}+3}$

Vì $\sqrt[]{x} + 3 ≥ 3$ với $∀ x ≥ 0$

⇒ $\frac{6}{\sqrt[]{x}+3} ≤ 2$

⇒ $- \frac{6}{\sqrt[]{x}+3} ≥ - 2$

⇒ $1 - \frac{6}{\sqrt[]{x}+3} ≥ - 1$

hay $M ≥ -1$

Lại có : $M = 1 - \frac{6}{\sqrt[]{x}+3}$

Vì $\frac{6}{\sqrt[]{x}+3} > 0$ với $∀ x ≥ 0$

⇒ $1 - \frac{6}{\sqrt[]{x}+3} < 1$

hay $M < 1$

⇒ $- 1 ≤ M < 1$

Mà $M ∈ Z ⇒ M =$ {$- 1 ; 0$}
+) $M = - 1$

⇔ $\frac{\sqrt[]{x}-3}{\sqrt[]{x}+3} = - 1$

⇔ $\sqrt[]{x} - 3 = - \sqrt[]{x} - 3$

⇔ $2\sqrt[]{x} = 0$

⇔ $x = 0$ ( thỏa mãn )

+) $M = 0$

⇔ $\frac{\sqrt[]{x}-3}{\sqrt[]{x}+3} = 0$

⇔ $\sqrt[]{x} - 3 = 0$

⇔ $\sqrt[]{x} = 3$

⇔ $x = 9$ ( thỏa mãn )

Kết hợp 2TH ⇒ $x =$ {$0 ; 9$}