`(m-1).x^2 -2mx +m-4=0` lập hệ thức độc lập giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m

Đáp án:

\({x_1}{x_2} = \dfrac{{ - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 8}}{{ - 2}}\) là hệ thức độc lập giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m

Giải thích các bước giải:

 Để phương trình có nghiệm

\(\begin{array}{l}
 \to \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 1\\
{m^2} - \left( {m - 4} \right)\left( {m - 1} \right) \ge 0
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 1\\
{m^2} - \left( {{m^2} - 5m + 4} \right) \ge 0
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 1\\
{m^2} - {m^2} + 5m - 4 \ge 0
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 1\\
m \ge \dfrac{4}{5}
\end{array} \right.\\
Vi - et:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2m}}{{m - 1}}\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{{m - 4}}{{m - 1}}
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {m - 1} \right) = 2m\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{{m - 4}}{{m - 1}}
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
\left( {{x_1} + {x_2}} \right)m - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 2m\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{{m - 4}}{{m - 1}}
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
\left( {{x_1} + {x_2} - 2} \right)m = {x_1} + {x_2}\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{{m - 4}}{{m - 1}}
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
m = \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1} + {x_2} - 2}}\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{{\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1} + {x_2} - 2}} - 4}}{{\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1} + {x_2} - 2}} - 1}}\left( * \right)
\end{array} \right.\\
\left( * \right) \to {x_1}{x_2} = \dfrac{{{x_1} + {x_2} - 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 8}}{{{x_1} + {x_2} - 2}}:\dfrac{{{x_1} + {x_2} - \left( {{x_1} + {x_2} + 2} \right)}}{{{x_1} + {x_2} - 2}}\\
 \to {x_1}{x_2} = \dfrac{{ - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 8}}{{ - 2}}
\end{array}\)