Khai triển và rút gọn $1-x+2(1-x)^2+...+n(1-x)^n$ thu được đa thức $P(x)=a_0+a_1x+..+a_nx^n$ Tính hệ số $a_8$ biết rằng $n$ là số nguyên dương thoả mãn $\dfrac{1}{C^2_{n}}+\dfrac{7}{C^3_n}=\dfrac{1}{n}$

Điều kiện $n\ge 3, n\in \mathbb{N}$

$\begin{array}{l} \dfrac{1}{{C_n^2}} + \dfrac{7}{{C_n^3}} = \dfrac{1}{n}\\  \Leftrightarrow \dfrac{2}{{n\left( {n - 1} \right)}} + \dfrac{7}{{\dfrac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!.3!}}}} = \dfrac{1}{n}\\  \Leftrightarrow \dfrac{2}{{n\left( {n - 1} \right)}} + \dfrac{{7.3!}}{{\left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)n}} = \dfrac{1}{n}\\  \Leftrightarrow \dfrac{2}{{n - 1}} + \dfrac{{7.3!}}{{\left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)}} = 1\\  \Leftrightarrow 2\left( {n - 2} \right) + 7.3! = \left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)\\  \Leftrightarrow 2n - 4 + 42 = {n^2} - 3n + 2\\  \Leftrightarrow {n^2} - 5n - 36 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} n = 9\\ n =  - 4(L) \end{array} \right. \end{array}$

Từ đo suy ra  hệ số $a_8$ của $x_8$ trong biểu thức đã cho ban đầu. Suy ra cần tìm hệ số của $x^8$. $x^8$ chỉ xuất hiện trong khai triển biểu thức $8(1-x)^8$ và $9(1-x)^9$

$\begin{array}{l} 8{\left( {1 - x} \right)^8} = 8.\sum\limits_{k = 1}^8 {C_8^k.{{\left( { - x} \right)}^{8 - k}}} \\ \,{x^8} \Rightarrow HS:8.C_8^8\\ 9{\left( {1 - x} \right)^9} = 9\sum\limits_{k = 1}^9 {C_9^k.{{\left( { - x} \right)}^{9 - k}}} \\ \text{Hệ số}\,{x^8} \Rightarrow HS:9C_9^8 \end{array}$

Tổng hệ số của $x^8$ hay $a_8$ bằng $8.C_8^8+9.C_9^8=89$.