hình lăng trụ đứng ABC. A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông, AB=AC=a, AA1=a√2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA1, BC1. Tính thể tích khối chóp B. A1MN

Đáp án:

$V_{NMBA_1}= \dfrac{a^3\sqrt2}{24}$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$AA_1\perp (ABC)\quad$ (lăng trụ đứng)

$\Rightarrow AA_1\perp AC$

mà $AC\perp AB$

nên $AC\perp (AA_1B)$

$\Rightarrow AC = d(C;(AA_1B))= a$

Gọi $I$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow NI//CC_1$ (đường trung bình)

$\Rightarrow NI//(AA_1B)$

$\Rightarrow d(N;(AA_1B))=d(I;(AA_1B))$

Gọi $K$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow IK//AC;\, IK=\dfrac12AC =\dfrac a2$ (đường trung bình)

$\Rightarrow IK\perp (AA_1B)$

$\Rightarrow IK = d(I;(AA_1B))=\dfrac a2$

Mặt khác:

$M$ là trung điểm $AA_1$

$\Rightarrow S_{MBA_1}=\dfrac12S_{ABA_1}$

$\Rightarrow S_{MBA_1}=\dfrac14AA_1.AB =\dfrac14.a\sqrt2.a =\dfrac{a^2\sqrt2}{4}$

Do đó:

$V_{NMBA_1}=\dfrac13S_{MBA_1}.d(N;(MBA_1))=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2\sqrt2}{4}\cdot\dfrac a2 = \dfrac{a^3\sqrt2}{24}$