Hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;2] đồng biến trên đoạn từ [1;2] và thỏa mãn đẳng thức x + 2xf(x) = f(x)' .Biết rằng f(1) = 0 .Tính Tích phân từ 1 đến 2 của xf(x)

Đáp án:

<=> f'(x)-2xf(x)=x

<=> e^(-x^2)f'(x)-2xe^(-x^2)f(x)=xe^(-x^2). {nhân cả hai vế với e^(-x^2)}

<=> (e^(-x^2)f(x))'=xe^(-x^2)

=> Tìm được f(x)

Giải thích các bước giải:

Đáp án:

$\displaystyle\int\limits_1^2 {xf\left( x \right)dx}  = \dfrac{1}{4}{e^3} - 1$

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

$\begin{array}{l}
 + )x{\rm{ }} + {\rm{ }}2xf\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}f'\left( x \right)\\
 \Leftrightarrow f'\left( x \right) - 2xf\left( x \right) = x\\
 \Leftrightarrow {e^{ - {x^2}}}f'\left( x \right) - 2x.{e^{ - {x^2}}}f\left( x \right) = x.{e^{ - {x^2}}}\\
 \Leftrightarrow {e^{ - {x^2}}}f'\left( x \right) + \left( {{e^{ - {x^2}}}} \right)'f\left( x \right) = x.{e^{ - {x^2}}}\\
 \Leftrightarrow \left( {{e^{ - {x^2}}}f\left( x \right)} \right)' = x.{e^{ - {x^2}}}\\
 \Leftrightarrow {e^{ - {x^2}}}f\left( x \right) = \displaystyle\int {x.{e^{ - {x^2}}}dx} \left( 1 \right)\\
 + )\displaystyle\int {x.{e^{ - {x^2}}}dx}  =  - \dfrac{1}{2}\displaystyle\int {{e^{ - {x^2}}}d\left( { - {x^2}} \right)}  = \dfrac{{ - 1}}{2}{e^{ - {x^2}}} + C\left( 2 \right)\\
 \Rightarrow {e^{ - {x^2}}}f\left( x \right) = \dfrac{{ - 1}}{2}{e^{ - {x^2}}} + C\\
 \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{ - 1}}{2} + C.{e^{{x^2}}}\\
f\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow \dfrac{{ - 1}}{2} + C.{e^{{1^2}}} = 0 \Leftrightarrow C = \dfrac{1}{{2e}}\\
 \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{ - 1}}{2} + \dfrac{1}{{2e}}.{e^{{x^2}}} = \dfrac{{ - 1}}{2} + \dfrac{1}{2}.{e^{{x^2} - 1}}\\
 \Rightarrow \displaystyle\int\limits_1^2 {xf\left( x \right)dx}  = \displaystyle\int\limits_1^2 {x.\left( {\dfrac{{ - 1}}{2} + \dfrac{1}{2}.{e^{{x^2} - 1}}} \right)dx} \\
 = \dfrac{1}{2}\left[ {\displaystyle\int\limits_1^2 {\left( { - x} \right)dx}  + \displaystyle\int\limits_1^2 {x.{e^{{x^2} - 1}}dx} } \right]\\
 = \dfrac{1}{2}\left[ {\left. {\dfrac{{ - {x^2}}}{2}} \right|_1^2 + \dfrac{1}{2}\displaystyle\int\limits_1^2 {{e^{{x^2} - 1}}d\left( {{x^2} - 1} \right)} } \right]\\
 = \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{{ - 3}}{2} + \dfrac{1}{2}\left. {{e^{{x^2} - 1}}} \right|_1^2} \right] = \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{{ - 3}}{2} + \dfrac{1}{2}\left( {{e^3} - 1} \right)} \right]\\
 = \dfrac{1}{4}{e^3} - 1
\end{array}$

Vậy $\displaystyle\int\limits_1^2 {xf\left( x \right)dx}  = \dfrac{1}{4}{e^3} - 1$