Hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;2] đồng biến trên đoạn từ [1;2] và thỏa mãn đẳng thức x + 2xf(x) = f(x)' .Biết rằng f(1) = 0 .Tính Tích phân từ 1 đến 2 của xf(x)

Đáp án: $\frac{e^{3} - 4}{4} $

Giải thích các bước giải:

$f(x)$ có đạo hàm liên tục; đồng biến trên đoạn $[1;2]$

$⇒ f(x) ≥ f(1) = 0$ với $∀x ∈ [1;2]$

$x + 2xf(x) = f'(x) ⇔ \frac{f'(x)}{1 + 2f(x)} = x ⇔ \frac{[1 + 2f(x)]'}{1 + 2f(x)} = 2x $ 

$⇔ (ln[1 + 2f(x)])'= (x² + C)' ⇔ ln[1 + 2f(x)] = x² + C(1)$ 

Thay $x = 1$ vào $(1): ln[1 + 2f(1)] = 1² + C ⇒ C = - 1$

$ ⇒ f(x) = (\frac{1}{2})(e^{x² - 1} - 1) ⇒ f(2) = (\frac{1}{2})(e^{3} - 1)$

Ta có $:\int\limits^2_1 {xf(x)} \, dx = (\frac{1}{2})\int\limits^2_1 {[f'(x) - x]} \, dx $

$= (\frac{1}{2})f(x) - \frac{x²}{4}$ ( cận từ $1$ đến $2$)

$= (\frac{1}{2})[f(2) - f(1)]- \frac{2² - 1²}{4} = (\frac{1}{2})[(\frac{1}{2})(e^{3} - 1) - 0]- \frac{3}{4} = \frac{e^{3} - 4}{4} $