Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số đôi 1 khác nhau được lập từ các chữ số tự nhiên 0;1;2;3;4;5;6;7. Chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S. Tính xác suất p để số được chọn là số tự nhiên chia 3 dư 2

Đáp án:

\(P = \dfrac{{11}}{{35}}\)

Giải thích các bước giải:

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ 8 chữ số đã cho là  \(\overline {abcd} \,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)

Gọi A là biến cố: " Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có 4 chữ sô khác nhau được lập từ 8 chữ số đã cho sao cho số được chọn chia 3 dư 2". Ta có:

*) Tính số phần tử của không gian mẫu:

+ Có \(7\) cách chọn chữ số \(a\) (Do \(a \ne 0\))

+ Có \(7\) cách chọn chữ số \(b\) (Do \(b \ne a\))

+ Có \(6\) cách chọn chữ số \(c\) (Do \(c \ne b \ne a\))

+ Có \(5\) cách chọn chữ số \(d\) (Do \(d \ne c \ne b \ne a\))

Do đó, số phần tử của không gian mẫu là:      \(\left| \Omega  \right| = 7.7.6.5 = 1470\)

*) Ta sẽ tính số kết quả có lợi cho A như sau:

\(\overline {abcd} \) chia 3 dư 2 nên \(\left( {a + b + c + d} \right)\) chia 3 dư 2

Ta có:

\(\begin{array}{l}
a + b + c + d \ge 0 + 1 + 2 + 3 = 6\\
a + b + c + d \le 4 + 5 + 6 + 7 = 22\\
 \Rightarrow 6 \le a + b + c + d \le 22
\end{array}\)

Suy ra \(\left( {a + b + c + d} \right) \in \left\{ {8;11;14;17;20} \right\}\)

TH1:  \(a + b + c + d = 8\)

\(8 = 0 + 1 + 2 + 5 = 0 + 1 + 3 + 4\)

Số các số lập được từ 2 khả năng trên  là:  \(3.3.2.1.2 = 36\)

TH2:  \(a + b + c + d = 11\)

\(\begin{array}{l}
11 = 0 + 1 + 3 + 7 = 0 + 1 + 4 + 6 = 0 + 2 + 3 + 6 = 0 + 2 + 4 + 5\\
 = 1 + 2 + 3 + 5
\end{array}\)

Số các số lập được từ 5 khả năng trên là: \(3.3.2.1.4 + 4.3.2.1 = 96\)

TH3: 

\(\begin{array}{l}
a + b + c + d = 14\\
14 = 0 + 1 + 6 + 7 = 0 + 2 + 5 + 7 = 0 + 3 + 4 + 7 = 0 + 3 + 5 + 6\\
 = 1 + 2 + 4 + 7 = 1 + 2 + 5 + 6 = 1 + 3 + 4 + 6\\
 = 2 + 3 + 4 + 5
\end{array}\)

Số các số lập được từ 8 khả năng trên là \(3.3.2.1.4 + 4.3.2.1.4 = 168\)

TH4:   

\(\begin{array}{l}
a + b + c + d = 17\\
17 = 0 + 4 + 6 + 7\\
 = 1 + 3 + 6 + 7 = 1 + 4 + 5 + 7\\
 = 2 + 3 + 5 + 7 = 2 + 4 + 5 + 6
\end{array}\)

Số các số lập được từ 5 khả năng trên là: \(3.3.2.1.1 + 4.3.2.1.4 = 114\)

TH5:

  \(\begin{array}{l}
a + b + c + d = 20\\
20 = 2 + 5 + 6 + 7 = 3 + 4 + 6 + 7
\end{array}\)

Số các số lập được từ 2 khả năng trên là:  \(4.3.2.1.2 = 48\)

Do đó, số kết quả có lợi cho biến cố A là:

\[\left| {{\Omega _A}} \right| = 36 + 96 + 168 + 114 + 48 = 462\]

Vậy xác suất cần tìm là:

\[{P_A} = \dfrac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \dfrac{{462}}{{1470}} = \dfrac{{11}}{{35}}\]