Giúp mình vs, mình cần gấp lắm help, tính tích phân từng phần 1. nguyên hàm x^2(1-x^3)^4dx 2. nguyên hàm 3x^2/1+x^3 dx 3. _____________ 2x+1/x^2+x+7 dx 4. _____________ cos2x/1+2sin2x dx 5. _____________ cosx/1+sinx dx

Đáp án:

$\begin{array}{l}1)\quad -\dfrac{1}{15}(1-x^3)^5 + C\\2)\quad  \ln|1 + x^3| + C\\3)\quad \ln|x^2 + x + 7| + C\\4)\quad \dfrac14\ln|1 + 2\sin2x| + C\\5)\quad  \ln|1+\sin x| + C\end{array}$

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}1)\quad \displaystyle\int x^2(1-x^3)^4dx\\ Đặt\,\,u=1 - x^3\\ \to du = -3x^2dx\\ \text{Ta được:}\\ \quad -\dfrac13\displaystyle\int u^4du\\ = -\dfrac13\cdot\dfrac{u^5}{5} + C\\ = -\dfrac{1}{15}u^5 + C\\ = -\dfrac{1}{15}(1-x^3)^5 + C\\ 2)\quad \displaystyle\int\dfrac{3x^2}{1+x^3}dx\\ Đặt\,\,u = 1 + x^3\\ \to du = 3x^2dx\\ \text{Ta được:}\\ \quad \displaystyle\int\dfrac{du}{u}\\ = \ln|u| + C\\ = \ln|1 + x^3| + C\\ 3)\quad \displaystyle\int\dfrac{2x+1}{x^2 +x+7}dx\\ Đặt\,\,u = x^2 + x + 7\\ \to du = 2x + 1\\ \text{Ta được:}\\ \quad \displaystyle\int\dfrac{du}{u}\\ = \ln|u| + C\\ = \ln|x^2 + x + 7| + C\\ 4)\quad \displaystyle\int\dfrac{\cos2x}{1+\sin2x}dx\\ Đặt\,\,u = 1 + 2\sin2x\ \to du =4\cos2xdx\\ \text{Ta được:}\\ \quad \dfrac14\displaystyle\int\dfrac{du}{u}\\ = \dfrac14\cdot\ln|u| +C\\ = \dfrac14\ln|1 + 2\sin2x| + C\\ 5)\quad \displaystyle\int\dfrac{\cos x}{1+\sin x}dx\\ Đặt\,\,u = 1+ \sin x\\ \to du = \cos xdx\\ \text{Ta được:}\\ \quad \displaystyle\int\dfrac{du}{u}\\ = \ln|u| +C\\ = \ln|1+\sin x| + C \end{array}$

`text{Câu 1}`

`int\ x^{2}(1 - x^3)^{4}dx`

`text{Đặt}`

`t = 1 - x^3`

`-> dt = -3x^{2}dx`

`text{Vậy}`

`int\ (-1)/(3).t^{4}dt`

`= -1/(3)int\ t^{4}dt`

`= -1/(3).(1)/(5).t^{5} + C`

`= -1/(15).t^{5} + C`

`= -1/(15).(1 - x^{3})^{5} + C`

`text{Câu 2}`

`int\ (3x^2)/(1 + x^3)dx`

`text{Đặt}`

`t = 1 + x^3`

`-> dt = 3x^{2}dx`

`text{Vậy}`

`int\ (dt)/t`

`= ln |t| + C`

`= ln |1 + x^3| + C`

`text{Câu 3}`

`int\ (2x + 1)/(x^2 + x + 7)`

`text{Đặt}`

`t = x^2 + x + 7`

`-> dt = 2x + 1dx`

`text{Vậy}`

`int\ (dt)/t`

`= ln |t| + C`

`= ln |x^2 + x + 7| + C`

`text{Câu 4}`

`int\ (cos 2x)/(1 + 2sin 2x)dx`

`text{Đặt}`

`t = 1 + 2sin 2x`

`-> dt = 4cos 2xdx`

`text{Vậy}`

`1/(4)int\ dt/t`

`= 1/(4).ln |t| + C`

`= 1/(4).ln |1 + 2sin 2x| + C`

`text{Câu 5}`

`int\ (cos x)/(1 + sin x)dx`

`text{Đặt}`

`t = 1 + sin x`

`-> dt = cos xdx`

`text{Vậy}`

`int\ (dt)/t`

`= ln |t| + C`

`= ln |1 + sin x| + C`