Giúp mình nhanh nhé ai nhanh cho ctlhn Cho 3 số x,y,z thỏa mãn : $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$ = $\frac{1}{x+y+z}$ Chứng minh rằng : $\frac{1}{x^{2019} }$ + $\frac{1}{y^{2019} }$ + $\frac{1}{z^{2019} }$ = $\frac{1}{x^{2019} +y^{2019} +z^{2019} }$
1 câu trả lời
ĐKXĐ : `x\ne 0,y\ne 0,z\ne 0,x+y+z\ne 0`
`1/x+1/y+1/z=1/(x+y+z)`
`->(xy+yz+xz)/(xyz)-1/(x+y+z)=0`
`->(xy+yz+xz)(x+y+z)-xyz=0`
`-> x^2y +xyz + x^2z + xy^2 + y^2z +xyz + xyz+ yz^2 + xz^2 -xyz=0`
`->x^2y + x^2z + xy^2 + y^2z + yz^2 +xz^2+2xyz=0`
`->x^2 (y+z) + yz (y+z) + xy (y+z) +xz(y+z)=0`
`->(y+z)(x^2+yz+xy+xz)=0`
`->(y+z)[x(x+y) + z (x+y)]=0`
`->(x+y)(y+z)(x+z)=0`
`->x+y=0` hoặc `y+z=0` hoặc `x+z=0`
Không mất tính tổng quát giả sử `x+y=0`
`->x=-y`
`1/x^{2019}+1/y^{2019}+1/z^{2019}`
`= -1/y^{2019}+1/y^{2019}+1/z^{2019}`
`=1/z^{2019}(1)`
`1/(x^{2019}+y^{2019}+z^{2019})`
`=1/(-y^{2019}+y^{2019}+z^{2019})`
`=1/z^{2019}(2)`
`(1)(2)` ta có đpcm.
