Giúp mình bài này ạ lim (2^x - 1 + cos x - x^2)/(ln (x + 1) - x^2 + arctan x) x -> + vô cùng nhờ lí luận tương đương nha

`lim_{x -> +infty} (2^{x} - 1 + cos x - x^2)/(ln (x + 1) - x^2 + arctan x)`

Khi `x -> +infty`

Với `2^{x} - 1 + cos x - x^2` thì `2^{x}` sẽ chạy về giá trị `+infty` nhanh nhất

`-> 2^{x} - 1 + cos x - x^2 ~ 2^{x}`

Tương tự với mẫu, ta có `arctan x in (-(\pi)/(2); (\pi)/2), ln (x + 1)` lớn, `x^2` là vô cùng lớn

`-> ln (x + 1) - x^2 + arctan x ~ x^2`

`-> lim_{x -> +infty} (2^{x} - 1 + cos x - x^2)/(ln (x + 1) - x^2 + arctan x) = (2^{x})/(-x^2) = -infty`

Đáp án:

$\lim\limits_{x \to +\infty}\left[\dfrac{2^x - 1 + \cos x -x^2}{\ln(x+1) -x^2 + \arctan x} \right]=-\infty$

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}\lim\limits_{x \to +\infty}\left[\dfrac{2^x - 1 + \cos x -x^2}{\ln(x+1) -x^2 + \arctan x} \right]\\ =\lim\limits_{x \to +\infty}\left[\dfrac{\dfrac{2^x}{x^2} - \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{\cos x}{x^2} -1}{\dfrac{\ln(x+1)}{x^2} -1 + \dfrac{\arctan x}{x^2}} \right]\\ = \lim\limits_{x \to +\infty}\left(\dfrac{\dfrac{2^x}{x^2}-1}{-1} \right)\\ = -\lim\limits_{x \to +\infty}\left(\dfrac{2^x}{x^2} -1\right)\\ = -\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{2^x}{x^2} + 1\\ = -\infty + 1\\ = -\infty \end{array}$