Giúp em với mọi người ơi! Cho $\left(x_1p-y_1q\right)^{2n}+\left(x_2p-y_2q\right)^{2n}+\left(x_3p-y_3q\right)^{2n}\ +\,.\!.\!.+\ \left(x_mp-y_mq\right)^{2n}\le 0$ với $m,n\in\mathbb{N^*}$. Chứng minh $\dfrac{x_1+x_2+x_3\ +\,.\!.\!.+\ x_m}{y_1+y_2+y_3\ +\,.\!.\!.+\ y_m}=\dfrac qp$. Giúp em với!

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

`AA n \in NN^{***}` ta có :

`(x_1p-y_1q)^(2n) \ge 0`

`(x_2p-y_2q)^(2n) \ge 0`

`(x_3p-y_3q)^(2n) \ge 0`

..... 

`(x_mp-y_mq)^(2n) \ge 0` 

Cộng dọc lại ta được : 

$\left(x_1p-y_1q\right)^{2n}+\left(x_2p-y_2q\right)^{2n}+\left(x_3p-y_3q\right)^{2n}\ +\,.\!.\!.+\ \left(x_mp-y_mq\right)^{2n}\ge 0 \ \forall x$
Mà theo đề bài :

$\left(x_1p-y_1q\right)^{2n}+\left(x_2p-y_2q\right)^{2n}+\left(x_3p-y_3q\right)^{2n}\ +\,.\!.\!.+\ \left(x_mp-y_mq\right)^{2n}\le 0 $

Dấu `=` xảy ra :

$\Leftrightarrow \begin{cases} x_1p - y_1q =0 \\ x_2p-y_2q =0 \\ x_3p-y_3q =0 \\ ... \\ x_mp - y_mq=0 \end{cases}$ 

$\Leftrightarrow \begin{cases} x_1p = y_1q \\ x_2p=y_2q \\ x_3p = y_3q \\ ... \\ x_mp = y_mq \end{cases}$
Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức : 
$\begin{cases} \dfrac{x_1}{y_1} = \dfrac{q}{p} \\ \dfrac{x_2}{y_2} = \dfrac{q}{p} \\ \dfrac{x_3}{y_3}= \dfrac{q}{p} \\ ... \\ \dfrac{x_m}{y_m} = \dfrac{q}{p} \end{cases}$
Suy ra :

`(x_1)/(y_1) = (x_2)/(y_2) = (x_3)/(y_3) = ... (x_m)/(y_m) = q/p`

Dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được :

$\dfrac{x_1+x_2+x_3\ +\,.\!.\!.+\ x_m}{y_1+y_2+y_3\ +\,.\!.\!.+\ y_m}=\dfrac pq$
Vậy ta được điều phải chứng minh.