giúp em cần gấp !!! Cho PT : $log_{2}4x-log_{\dfrac{\pi}{x}}2=3$ có 2 nghiệm `x_1` và `x_2`. Tính `S=log_2(x_1.x_2)`
2 câu trả lời
`D = (1; +infty) \\ {pi}`
$log_{2} 4x - log_{\dfrac{\pi}{x}} 2 = 3$
`->` $log_{2} 4 + log_{2} x - \dfrac{1}{log_{2} \dfrac{\pi}{x}} = 3$
`-> 2 + log_{2} x - (1)/(log_{2} (\pi) - log_{2} x) = 3`
`-> log_{2} x - 1/(log_{2} (\pi) - log_{2} x) = 1`
`text{Đặt}` `log_{2} x = t; log_{2} pi = k` `(t ne 1)`
`text{Phương trình trên trở thành}`
`t - 1/(k - t) = 1`
`-> t(k - t) - 1 - (k - t) = 0`
`-> tk - t^2 - 1 - k + t = 0`
`-> -t^2 + (k + 1)t - k - 1 = 0`
`-> t^2 - (k + 1)t + k + 1 = 0`
`text{Coi phương trình trên là phương trình bậc hai ẩn t}`
`text{Ta có}`
`Δ = (k + 1)^2 - 4(k + 1) = k^2 + 2k + 1 - 4k - 4 = k^2 - 2k + 1 - 4 = (k - 1)^2 - 4`
`text{Ta có}`
`(k - 1)^2 - 4`
`= (log_{2} π - 1)^2 - 4 < 0`
`-> Δ < 0`
`-> S = ∅`
Giải thích các bước giải:
ĐK: $x > 0$
Ptrinh đã cho tương đương vs
$\log_2 4 + \log_2 x - \dfrac{1}{\log_2 \frac{\pi}{x}} = 3$
$\Leftrightarrow 2 + \log_2 x - \dfrac{1}{\log_2 \pi - \log_2 x} = 3$
$\Leftrightarrow \log_2 x - \dfrac{1}{\log_2 \pi - \log_2 x} = 1$
Đặt $t = \log_2 x$, $a = \log_2 \pi$. Ptrinh trở thành
$t - \dfrac{1}{a-t} = 1$
$\Leftrightarrow t(a-t) - 1 = a-t$
$\Leftrightarrow -t^2 + (a+1)t -a-1 = 0$
$\Leftrightarrow t^2 - (a+1)t +a + 1 = 0$
Ta có
$\Delta = (a+1)^2 - 4(a+1) = a^2 -2a - 3= (a-1)^2 - 4$
Ta có $a = \log_2 \pi \in (1,2)$ nên ta có $a-1 \in (0,1)$, suy ra $(a-1)^2 \in (0,1)$
Suy ra $\Delta < 0$. Vậy ptrinh trên vô nghiệm.
Câu hỏi trong lớp
Xem thêm
