giải và biệt luận hệ phương trình theo tham số m $\left \{ {{mx-y=2m} \atop {4x-my=6+m}} \right.$

$\begin{cases} mx - y = 2m \\ 4x - my = 6 + m \\ \end{cases}$

⇔ $\begin{cases} y = mx - 2m  \\ 4x - my = 6 + m \\ \end{cases}$

⇔ $\begin{cases} y = mx - 2m  \\ 4x - m ( mx - 2m ) = 6 + m \\ \end{cases}$

⇒ ` 4x - m ( mx - 2m ) = 6 + m `

⇔ ` 4x - m²x + 2m² = 6 + m `

⇔ ` 4x - m²x = 6 + m - 2m² `

⇔ ` x ( 4 - m² ) = 6 + m - 2m²  ` 

TH1 : Nếu ` 4 - m² ` $\ne$ ` 0 ` thì phương trình có nghiệm duy nhất :

` x = [ 6 + m - 2m² ] / [ 4 - m² ] `

` x = [ - ( 2m² - m - 6 ) ] / [ - ( m² - 4 ) ] `

` x = [ 2m² - m - 6 ] / [ m² - 4 ] `

` x = [ ( m - 2 ) ( 2m + 3 ) ] / [ ( m - 2 ) ( m + 2 ) ] `

` x = [ 2m + 3 ] / [ m + 2 ] `

mà ` y = mx - 2m `

` ⇒ y = m . [ 2m + 3 ] / [ m + 2 ] - 2m`

` ⇔ y = [ 2m² + 3m ] / [ m + 2 ] - 2m`

` ⇔ y = [ 2m² + 3m ] / [ m + 2 ] - [ 2m ( m + 2 ) ] / [ m + 2 ] `

` ⇔ y = [ 2m² + 3m - 2m² - 4m ] / [ m + 2 ] `

` ⇔ y = [ -m ] / [ m + 2 ] `

TH2 : Nếu ` 4 - m² = 0 ` thì ` m = 2 ` hoặc ` m = -2 ` , suy ra :

+) ` x . 0 = 6 + 2 - 2 . 2² `

` ⇔ 0 = 6 + 2 - 2 . 4 `

` ⇔ 0 = 8 - 8 `

` ⇔ 0 = 0 ` ( luôn đúng )

⇒ Hệ phương trình có vô số nghiệm

+) ` x . 0 = 6 + ( -2 ) - 2 . ( -2 )² `

` ⇔ 0 = 6 - 2 - 2 . 4 `

` ⇔ 0 = 4 - 8 ` 

` ⇔ 0 = -4 ` ( vô lý )

⇒ Hệ phương trình vô nghiệm 

Vậy

+) Với ` m ` $\ne$ ` ±2 ` thì hệ phương trình có nghiệm phân biệt ` ( x ; y ) = ( [ 2m + 3 ] / [ m + 2 ] ; [ -m ] / [ m + 2 ] ) `

+) Với ` m = 2 ` thì hệ phương trình có vô số nghiệm

+) Với ` m = -2 ` thì hệ phương trình vô nghiệm

Đáp án + giải thích các bước giải:

$\begin{cases}mx-y=2m(1)\\4x-my=6+m(2)\end{cases}$

Từ `(1)->y=mx-2m=m(x-2)(3)`

Thế `(3)` vào `(2)`, có:

`4x-m.m(x-2)=6+m`

`->4x-m^2x+2m^2=6+m`

`->2m^2-m-6=m^2x-4x`

`->(2m+3)(m-2)=x(m-2)(m+2) (4)`

Với `m=2`, phương trình `(4)` có dạng:

`0x=0` (luôn đúng)

`->`Phương trình có vô số nghiệm

`->`Hệ phương trình có vô số nghiệm 

Với `m=-2`, phương trình `(4)` có dạng:

`0x=4` (vô lý)

`->PTVN`

`->HPTVN`

Với `m\ne\pm2`, phương trình `(4)` có nghiệm duy nhất 

`x=((2m+3)(m-2))/((m-2)(m+2))=(2m+3)/(m+2)`

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

`x=(2m+3)/(m+2)`

`y=m((2m+3)/(m+2)-2)=m(2m+3-2m-4)/(m+2)=-m/(m+2)`