giải hệ PT : {1+y/x- √y/ √x=7/x {x^2+y^2+xy=133

$\begin{cases} 1+\dfrac{y}{x}-\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}=\dfrac{7}{x}\\x^2 +y^2 +xy =133 \end{cases}\qquad (x>0,\quad y>0)\\\Leftrightarrow \begin{cases} x+y-\sqrt{yx}=7\\x^2 +y^2 +xy =133 \end{cases}\\\Leftrightarrow\begin{cases} x+y-\sqrt{yx}\\x^2 +y^2 +2xy-2xy+xy =133 \end{cases}\\\Leftrightarrow\begin{cases} x+y-\sqrt{yx}\\(x+y)^2-xy =133 \end{cases}$

Đặt `x+y=a`

`\sqrt{xy}=b`

hpt trở thành:

\(\begin{cases} a-b=7\\a^2-b^2=133 \end{cases}\\\Leftrightarrow\begin{cases} a=7-b\\(7-b)^2 -b^2=133 \end{cases}\\\Leftrightarrow\begin{cases} a=13\\b=6 \end{cases}\)

Với `a=13,\qquad b=6` ta có:

\(\begin{cases} x+y=13\\\sqrt{xy}=6 \end{cases}\\\Leftrightarrow\begin{cases} x=13-y\\\sqrt{(13-y)y}=6 \end{cases}\\\Leftrightarrow\begin{cases} x=13-y\\13y-y^2=36\end{cases}\\\Leftrightarrow\begin{cases} x=13-y\\y^2-13y+36=0 \end{cases}\\\Leftrightarrow\begin{cases} x=13-y\\(y-4)(y-9)=0 \end{cases}\\\Leftrightarrow\begin{cases} \left[ \begin{array}{l}x=13-4=9\\x=13-9=4\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}y=4\\y=9\end{array} \right. \end{cases}\)

Vậy hpt có hai cặp nghiệm `(x_1,y_1)=(9,4)`

`(x_2,y_2)=(4,9)`

$\begin{cases} 1+\dfrac{y}{x}-\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}=\dfrac{7}{x}\\x^2+y^2+xy=133 \end{cases}$`(x>0; y>=0)`

`<=>{(x+y-\sqrt{xy}=7),(x^2+y^2+xy=133):}`

`<=>{(x+y-\sqrt{xy}=7),(x^2+y^2+2xy-2xy+xy=133):}`

`<=>{(x+y-\sqrt{xy}=7),((x+y)^2-xy=133):}`

Đặt `a=x+y(a>0)` và `b=\sqrt{xy}(b>0)`

`{(a-b=7),(a^2-b^2=133):}`

`<=>{(a=7-b),((7-b)^2-b^2=133):}`

`<=>{(a=7-b),(b^2-14b+49-b^2=133):}`

`<=>{(a=7-b),(14b=84):}`

`<=>{(a=7-b),(b=6):}`

`<=>{(7-b=a),(b=6):}`

`<=>{(a-b=7),(b=6):}`

`<=>{(a=13),(b=6):}`

Với `a=13` và `b=6`

`{(x+y=13),(\sqrt{xy}=6):}`

`<=>{(x+y=13),(xy=36):}`

`<=>{(x=13-y),(13y-y^2=36):}`

`<=>{(x=13-y),(y^2-13y+36=0):}`

`<=>{(x=13-y),((y-4)(y-9)=0):}`

`<=>{(x=13-y),([(y=4),(y=9):}):}`

`<=>{([(x=9),(x=4):}),([(y=4),(y=9):}):}`

Vậy, hpt có hai cặp nghiệm duy nhất `(x;y)={(9;4),(4;9)}.`