Giải hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ 1) $\frac{2}{x+2y}$ + $\frac{1}{y+2x}$ = 3 và $\frac{4}{x+2y}$ - $\frac{3}{y+2x}$ = 1 2) $\frac{4}{x+y-1}$ - $\frac{5}{2x-y+3}$ = $\frac{5}{2}$ và $\frac{3}{x+y-1}$ + $\frac{1}{2x-y+3}$ = $\frac{7}{5}$

Đáp án:

Đặt `a=1/(x+2y)`   (`x \ne -2y`)

      `b=1/(y+2x)`    (`y \ne -2x`)

Ta có :

$\left\{\begin{matrix}2a+b=3\\ 4a-3b=1\end{matrix}\right.$

$⇔\left\{\begin{matrix}4a+2b=6\\ 4a-3b=1\end{matrix}\right.$

$⇔\left\{\begin{matrix}5b=5\\ 2a+b=1\end{matrix}\right.$

$⇔\left\{\begin{matrix}b=1\\ 2a+1=3\end{matrix}\right.$

$⇔\left\{\begin{matrix}b=1\\ a=1\end{matrix}\right.$

$⇔\left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{x+2y}=1\\ \dfrac{1}{y+2x}=1\end{matrix}\right.$

$⇔\left\{\begin{matrix}x+2y=1\\ y+2x=1\end{matrix}\right.$

$⇔\left\{\begin{matrix}2x+4y=2\\ 2x+y=1\end{matrix}\right.$

$⇔\left\{\begin{matrix}3y=1\\ y+2x=1\end{matrix}\right.$

$⇔\left\{\begin{matrix}y=\dfrac{1}{3}\\ x=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất `(x;y)=(1/3;1/3)`

`2)`

Đặt `1/(x+y-1)=a`   (`x+y \ne 1`)

       `1/(2x-y+3)=b`  (`2x-y \ne -3`)

Ta có :

$\left\{\begin{matrix}4a-5b=\dfrac{5}{2}\\ 3a+b=\dfrac{7}{5}\end{matrix}\right.$

$⇔\left\{\begin{matrix}4a-5b=\dfrac{5}{2}\\ 15a+5b=7\end{matrix}\right.$

$⇔\left\{\begin{matrix}19a=\dfrac{19}{2}\\ 3a+b=\dfrac{7}{5}\end{matrix}\right.$

$⇔\left\{\begin{matrix}a=\dfrac{1}{2}\\ b=\dfrac{-1}{10}\end{matrix}\right.$

$⇔\left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{x+y-1}=\dfrac{1}{2}\\ \dfrac{1}{2x-y+3}=\dfrac{-1}{10}\end{matrix}\right.$

$⇔\left\{\begin{matrix}x+y-1=2\\ -2x+y-3=10\end{matrix}\right.$

$⇔\left\{\begin{matrix}x+y=3\\ -2x+y=13\end{matrix}\right.$

$⇔\left\{\begin{matrix}3x=-10\\ x+y=3\end{matrix}\right.$

$⇔\left\{\begin{matrix}x=\dfrac{-10}{3}\\ y=\dfrac{19}{3}\end{matrix}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất `(x;y)=(-10/3;19/3)`