Đồ thị của y= x^3 +2(m-1)x^2 - 3(m-2)x - 2m -12 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi?

Đáp án:

$m > 3$ hoặc $m < -2$.

Giải thích các bước giải:

 Để đồ thị của hso đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì ptrinh

$x^3 + 2(m-1)x^2 - 3(m-2)x - 2m - 12 = 0$

phải có 3 nghiệm phân biệt. Ta có

$x^3 +2(m-1)x^2 - 3(m-2)x - 2m -12 = 0$

$\Leftrightarrow (x-2)(x^2 + 2mx + m + 6) = 0$

$\Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x^2 + 2mx + m + 6 = 0$

Để ptrinh có 3 nghiệm phân biệt thì ptrinh

$x^2 + 2mx + m + 6 = 0$

phải có 2 nghiệm phân biệt khác $2$. Để nghiệm khác 2 thì ta phải có

$2^2 + 2m.2 + m + 6 \neq 0$

$\Leftrightarrow 5m \neq -10$

$\Leftrightarrow m \neq -2$

và để có 2 nghiệm phân biệt thì

$\Delta' > 0$

$\Leftrightarrow m^2 - (m+6) > 0$

$\Leftrightarrow m^2 - m -6 > 0$

$\Leftrightarrow (m-3)(m+2) > 0$

$\Leftrightarrow m > 3$ hoặc $m < -2$.

Kết hợp các đk ta có $m > 3$ hoặc $m < -2$.