Đề là`x,y` nguyên và`( x^2+y^2)/(x+y)=(85)/(13)` tìm `x;y `
2 câu trả lời
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Từ $ PT => x + y > 0$
$ \dfrac{x^{2} + y^{2}}{x + y} = \dfrac{85}{13} <=> x^{2} + y^{2} = \dfrac{5.17(x + y)}{13}$
$ => x + y$ chia hết cho $13(1)$
Mặt khác ta có BĐT
$ (x + y)^{2} =< 2(x^{2} + y^{2})$
$ => x + y =< \dfrac{2(x^{2} + y^{2})}{x + y} = \dfrac{170}{13} $~ $13,077$
Vì $ x + y$ nguyên $ => 0 < x + y =< 13 (2)$
Từ $ (1); (2) => x + y = 13 (3)=> x^{2} + y^{2} = 85 (4)$
Dễ giải $(3); (4) => x = 6; y = 7$ hoặc $x = 7; y = 6$
Đáp án và giải thích các bước giải:
Có : `x,y∈Z`
`⇒` `x^2+y^2∈Z` và `x+y∈Z`
Có : `{x^2+y^2}/{x+y}={85}/{13}`
`⇒` `85(x+y)=13(x^2+y^2)`
`⇔` `x+y>0` và `(x+y)\vdots 13` `(1)`
Áp dụng BĐT : `x^2+y^2≥{(x+y)^2}/{2}`
`⇒` `85(x+y)=13(x^2+y^2)≥{13(x+y)^2}/{2}`
`⇒` `x+y<{170}/{13}`
Mà : `x+y∈Z`
`⇒` `0<x+y≤13` `(2)`
Từ `(1)` và `(2)`
`⇒` $\begin{cases} x+y=13\\x^2+y^2=85 \end{cases}$
`⇔` $\begin{cases} y=13-x\\x^2+(13-x)^2=85\end{cases}$
`⇔` \(\left[ \begin{array}{l}\begin{cases} x=6\\y=7 \end{cases}(TM)\\\begin{cases} x=7\\y=6 \end{cases}(TM)\end{array} \right.\)