đề bài: cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BA=BE. vẽ DH và EK cùng vuông góc với đường thẳng BC. Chứng minh: a) HB=CK b) góc AHB= góc AKC c) HK//DE d) tam giác AHE= tam giác AKD e) AI vuông với DE, I là giao điểm của DK và EH

a) Xét ΔABC cân tại A có:

- AB=AC

- ˆABC=ˆACB

Lại có: ˆABC=ˆHBD,ˆACB=ˆKCE (vì là các góc đối đỉnh)

⇒ˆHBD=ˆKCE.

Xét ΔBHD và ΔCKE có:

- BD=CE (gt)

- ˆHBD=ˆKCE (cmt)

- ˆDHB=ˆEKC=900 (gt)

⇒ΔBHD=ΔCKE(ch−gn)

⇒BH=CK(đpcm)

Vậy HB=CK.

b)b) Xét ΔABH và ΔACK có:

- AB=AC (gt)

- BH=CK (cmt)

- ˆABH=ˆACK (cùng bù với hai góc bằng nhau là: ˆABC và ˆACB)

⇒ΔABH=ΔACK(c−g−c)

⇒ˆAHB=ˆAKC,ˆBAH=ˆCAK. (hai góc tương ứng)

Vậy ˆAHB=ˆAKC(đpcm).

c) Xét ΔABC cân tại A có:

⇒ˆABC=ˆACB=1800−ˆCAB2

Ta có: AB=AC,BD=CE

⇒AB+BD=AC+CE

⇔AD=AE.

⇒ΔADE cân tại A

⇒ˆADE=ˆAED=1800−ˆCAB2.

Có: ˆADE=ˆABC,ˆACB=ˆAED(=1800−ˆCAB2)

Mà các góc ở vị trí đồng vị:

⇒BC//ED. Mà H∈BC, K∈BC.

⇒HK//ED.

Vậy ⇒HK//ED(đpcm).

d) Có ˆBAH=ˆCAK (cmt)

⇒ˆBAH+ˆBAE=ˆCAK+ˆBAE.

⇔ˆHAE=ˆKAD.

Xét ΔAHE và ΔAKD có:

- ˆHAE=ˆKAD (cmt)

- AH=AK [do ΔABH=ΔACK (cmt)]

- AD=AE (cmt)

⇒ ΔAHE=ΔAKD (c−g−c).

Vậy ΔAHE=ΔAKD (đpcm).

e) Có: ΔAHE=ΔAKD (cmt)

⇒ˆAEH=ˆADK (hai góc tương ứng)

Mà: ˆHDB=ˆKEC (cmt)

⇒ˆAEH+ˆKEC=ˆADK+ˆHDB.

⇔ˆHDI=ˆKEI.

Mà: HD⊥BC,EK⊥BC ⇒HD//EK

⇒ˆHDI=ˆIKE (hai góc so le trong)

⇒ˆDHI=ˆIEK (hai góc so le trong)

⇒ˆHDI=ˆKEI=ˆIKE=ˆDHI.

⇒ΔHID cân tại I, ΔKIE cân tại I.

⇒HI=ID,IK=IE.

Xét ΔHID và ΔEIK có:

-HD=EK (cmt)

-ˆHDI=ˆIKE (cmt)

-ˆDHI=ˆIEK(cmt)

⇒ΔHID=ΔEIK (g−c−g)

⇒ID=IK, IH=IE. (hai cạnh tương ứng)

Lại có: HI=ID,IK=IE. (cmt)

⇒ID=IK=IH=IE.

⇒ΔIED cân tại I ⇔ ID=IE.

⇒I thuộc đường trung trực của DE.
Lại có: AD=AE [ΔADE cân tại A (cmt)]

⇒A thuộc đường trung trực của DE.

⇒AI là đường trung trực của DE.

⇒AI⊥DE.
Vậy AI⊥DE (đpcm).

white2k9