Đầu tháng, một người gửi ngân hàng số tiền 400.000.000 đồng (bốn trăm triệu đồng) với lãi suất tiền gửi là 0,6% mỗi tháng theo hình thức lãi kép. Cuối mỗi tháng, người đó đều đặn gửi thêm vào ngân hàng số tiền 10.000.000 (mười triệu đồng). Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng (kể từ lúc đầu người đó đến ngân hàng gửi tiền) thì số tiền người đó tích lũy được số tiền lớn hơn 700.000.000 (bảy trăm triệu đồng)?

Số tiền sau tháng thứ nhất là

$y(1) = 400 + 400.0,6\% + 10 = 400.1,006 + 10$ (triệu đồng)

Số tiền sau tháng thứ hai là

$y(2) = y(1)  + y(1) . 0,6\% + 10 = y(1).1,006 + 10 = 400.(1,006)^2 + 10.(1,006+1)$ (triệu đồng)

Số tiền sau tháng thứ ba là

$y(3) = y(2) + y(2) . 0,6\% + 10 = y(2) . 1,006 + 10 = 400 . (1,006)^3 + 10[(1,006)^2 + 1,006 + 1]$ (triệu đồng)

...

Vậy số tiền sau tháng thứ $n$ là

$y(n) = 400. (1,006)^n + 10[(1,006)^{n-1} + \cdots + 1,006 + 1]$

$= 400 . (1,006)^n + 10 . \dfrac{(1,006)^n - 1}{1,006-1}$

$= 400 . (1,006)^n + \dfrac{5000}{3} [(1,006)^n - 1]$

Vậy để số tiền là 700 triệu thì

$700 = 400 . (1,006)^n + \dfrac{5000}{3} [(1,006)^n - 1]$

$\Leftrightarrow  2100 = 1200 (1,006)^n + 5000(1,006)^n - 5000$

$\Leftrightarrow 6200 (1,006)^n = 7100$

$\Leftrightarrow (1,006)^n = \dfrac{71}{62}$

$\Leftrightarrow n = \log_{1,006} \dfrac{71}{62} \approx 22,66$

Vậy sau ít nhất $23$ tháng người đó tích lũy đc số tiền $700$ triệu đồng.