Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình log4(x^2) + log2(4-x)=log2(m) có 3 nghiệm thực phân biệt??

Đáp án: $3$ số

Giải thích các bước giải:

ĐKXĐ: $4<x, n\ne 0$

Ta có:

$\log_4x^2+\log_2(4-x)=\log_2m$

$\to\log_{2^2}x^2+\log_2(4-x)=\log_2m$

$\to\dfrac12\log_{2}x^2+\log_2(4-x)=\log_2m$

$\to\log_{2}\sqrt{x^2}+\log_2(4-x)=\log_2m$

$\to\log_{2}|x|+\log_2(4-x)=\log_2m$

$\to\log_{2}|x|(4-x)=\log_2m$

$\to |x|(4-x)=m$

Đặt $y=|x|(4-x)$

Với $x\ge 0\to y=x(4-x)=-x^2+4x$

Với $x<0\to y=-x(4-x)=x^2-4x$

Vẽ đồ thị hàm số $y=|x|(4-x)$

$\to |x|(4-x)=m$ có $3$ nghiệm thực phân biệt

$\to 0<m<4$

$\to$Có $3$ số nguyên $m$ thỏa mãn đề

Đáp án: $m\in\{1;2;3\}$

Giải thích các bước giải:

ĐK: $x<4, x\ne 0$

$\log_4x^2+\log_2(4-x)=\log_2m$

$\to \dfrac{1}{2}\log_2 x^2+\log_2(4-x)=\log_2m$

$\to \log_2[ |x|(4-x)]=\log_2m$ 

$\to |x|(4-x)=m$ 

Xét hàm số $y=|x|(4-x)$

- Với $x\in (0;4)$: $y=x(4-x)=-x^2+4x$

$y'=-2x+4=0\to x=2$ (TM) 

- Với $x\in (-\infty;0)$: $y=-x(4-x)=x^2-4x$

$y'=2x-4=0\to x=2$ (loại)

Ta có BBT $y$ như hình

Để $y=m$ cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt  thoả $x\ne 0, x<4$ thì $0<m<4$