có bao nhiêu số nguyên m ∈(-20;20) để hàm số y= $x^{3}$ -3(m+1) $x^{2}$ +3(m^2+2m)x+2020 đồng biến trên các khoảng (-2;0) và (2;3)

Đáp án: $34$ giá trị

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$y'=3x^2-6(m+1)x+3(m^2+2m)$

$y'=0$

$\to 3x^2-6(m+1)x+3(m^2+2m)=0$

$\to x^2-2(m+1)x+(m^2+2m)=0$

$\to x^2-2(m+1)x+(m^2+2m+1)-1=0$

$\to x^2-2(m+1)x+(m+1)^2-1=0$

$\to(x-m-1)^2-1=0$

$\to(x-m-2)(x-m)=0$

$\to x=m+2,x=m$ là cực trị của hàm số

Ta có : $a=1>0, m<m+2$

$\to x=m$ là cực đại của hàm số , $x=m+2$ là cực tiểu của hàm số

$\to$Hàm số đồng biến trên $(-\infty,m)$ và $(m+2,+\infty)$

Để hàm số đồng biến trên $(-2,0)$ và $(2,3)$

$\to (2,3)⊂(-\infty,m)$ hoặc $(-2,0)⊂(m+2,+\infty)$ hoặc $(-2,0)⊂(-\infty,m)$ và $(2,3)⊂(m+2,+\infty)$

$\to 3\le m$ hoặc $m+2\le -2$ hoặc $m\ge 0$ và $m+2\le 2$

$\to 3\le m$ hoặc $m\le -4$ hoặc $m\ge 0$ và $m\le 0$

$\to 3\le m$ hoặc $m\le -4$ hoặc $m=0$

Vì $m\in(-20,20)$

$\to 3\le m\le 19, -19\le m\le -4, m=0$

$\to $Có tất cả $34$ giá trị $m$ thỏa mãn đề