có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = $ $x^{3}$ $+$ $3$$x^{2}$ + $m^{2}$$x$ $+ m$ có 2 điểm cực trị A,B sao cho trung điểm I của đoạn thẳng AB nằm trên trục hoành.

Đáp án:

$m=-1$

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

Hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} + {m^2}x + m$ có $y' = 3{x^2} + 6x + {m^2}$

Khi đó:

Đồ thị hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} + {m^2}x + m$ có 2 điểm cực trị

$ \Leftrightarrow y' = 0$ có 2 nghiệm phân biệt

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \Delta ' > 0\\
 \Leftrightarrow {3^2} - 3.{m^2} > 0\\
 \Leftrightarrow {m^2} < 3\\
 \Leftrightarrow  - \sqrt 3  < m < \sqrt 3 
\end{array}$

Lại có:

Hoành độ trung điểm $I$ của $AB$ là nghiệm của phương trình $y'' = 6x + 6 = 0$

$ \Rightarrow {x_I} =  - 1$

Như vậy:

$I \in Ox$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {\left( { - 1} \right)^3} + 3.{\left( { - 1} \right)^2} + {m^2}.\left( { - 1} \right) + m = 0\\
 \Leftrightarrow  - {m^2} + m + 2 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m =  - 1(c)\\
m = 2(l)
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy $m=-1$