Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=(m−1)2x4−(m2−2020m)x2+3 có đúng một cực trị?

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 $y$ = $m^{2}$$x^{4}$  - ($m^{2}$ - $2019m$) $x^{2}$ - $1$

+) $m$ = $0$ ⇒ Hàm số $y$ = $-1$ không có cực trị 

+) $m$ $≠$$0$ : $y'$ = $4m^{2}$$x^{3}$ - $2$ ($m^{2}$ - $2019m$) $x$

$y'$ = $0$ ⇔   $4m^{2}$$x^{3}$ - $2$ ($m^{2}$ - $2019m$) $x=0$ 

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x=0\\x^{2}=\dfrac{m^{2}-2019m}{2m^{2}}=\dfrac{m-2019m}{2m}\end{array} \right.\) 

Để hàm số có đúng một cực trị thì $\dfrac{m-2019}{2m}$ $\leq$ $0$ ⇔ $0$ < $m$ $\leq$ $2019$

Mà $m$ $∈$ $\mathbb{Z}$ ⇒ $m$$∈$ {$1;2;..........;2019$} : có 2019 giá trị m thỏa mãn 

Học tốt !!!

Đáp án:

2019

Lời giải:

$y=(m-1)^2x^4-(m^2-2020)x^2+3$

Ta có

$y' = 4(m-1)^2 x^3 - 2(m^2-2020m)x$

Xét phương trình

$y' = 0$

$\Leftrightarrow 4(m-1)^2 x^3 - 2(m^2 - 2020m)x = 0$

$\Leftrightarrow x [4(m-1)^2 x^2 - 2(m^2 - 2020m)] =0$

Vậy $x = 0$ hoặc

$4(m-1)^2 x^2 - 2(m^2 - 2020m) = 0$ (1)
Với $m = 1$, phương trình trở thành

$-2(-2019) = 0$ (vô lý) 

Với $m \neq 1$.

Do $x = 0$ có bội lẻ nên $x = 0$ luôn là cực trị của hàm. Vậy để hàm số có đúng 1 cực trị thì phương trình (1) phải vô nghiệm. Tức là

$\dfrac{2(m^2 - 2020m)}{4(m-1)^2} < 0$

$\Leftrightarrow m^2 - 2020m < 0$

$\Leftrightarrow m(m-2020) < 0$

$\Leftrightarrow 0 < m < 2020$

Do đó có

$\dfrac{2019 - 1}{1} + 1= 2019$ số