Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=(m−1)2x4−(m2−2020m)x2+3 có đúng một cực trị?

Đáp án:

2019

Lời giải:

$y=(m-1)^2x^4-(m^2-2020)x^2+3$

Ta có

$y' = 4(m-1)^2 x^3 - 2(m^2-2020m)x$

Xét phương trình

$y' = 0$

$\Leftrightarrow 4(m-1)^2 x^3 - 2(m^2 - 2020m)x = 0$

$\Leftrightarrow x [4(m-1)^2 x^2 - 2(m^2 - 2020m)] =0$

Vậy $x = 0$ hoặc

$4(m-1)^2 x^2 - 2(m^2 - 2020m) = 0$ (1)
Với $m = 1$, phương trình trở thành

$-2(-2019) = 0$ (vô lý) 

Với $m \neq 1$.

Do $x = 0$ có bội lẻ nên $x = 0$ luôn là cực trị của hàm. Vậy để hàm số có đúng 1 cực trị thì phương trình (1) phải vô nghiệm. Tức là

$\dfrac{2(m^2 - 2020m)}{4(m-1)^2} < 0$

$\Leftrightarrow m^2 - 2020m < 0$

$\Leftrightarrow m(m-2020) < 0$

$\Leftrightarrow 0 < m < 2020$

Do đó có

$\dfrac{2019 - 1}{1} + 1= 2019$ số