có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc[-18;18]để hàm số y=1/3(m^2-1)x^3+(m+1)x^2+3x-1 đồng biến trên R

Đáp án:

\(m \in \left[ { - 18; - 1} \right) \cup \left[ {2;18} \right]\)

Giải thích các bước giải:

 Có:

\(\begin{array}{l}
y = \dfrac{1}{3}\left( {{m^2} - 1} \right){x^3} + \left( {m + 1} \right){x^2} + 3x - 1\\
 \to y' = \left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 3
\end{array}\)

Do hàm số đồng biến trên R

\(\begin{array}{l}
 \to y' \ge 0\forall m \in R\\
 \to \left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 3 \ge 0\forall m \in R\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} - 1 > 0\\
{m^2} + 2m + 1 - \left( {{m^2} - 1} \right).3 \le 0
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
\left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right) > 0\\
{m^2} + 2m + 1 - 3{m^2} + 3 \le 0
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\\
 - 2{m^2} + 2m + 4 \le 0
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\\
\left( {2 - m} \right)\left( {m + 1} \right) \le 0
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\\
m \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)
\end{array} \right.\\
 \to m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left[ {2; + \infty } \right)\\
Do:m \in \left[ { - 18;18} \right]\\
KL:m \in \left[ { - 18; - 1} \right) \cup \left[ {2;18} \right]
\end{array}\)