CM BĐT trư bê sép dạng tổng quát

Bất đẳng thức $Chebyshev:$

Cho 2 chuỗi số:

$a_1 \geq a_2 \geq \dots \geq a_n$

$b_1 \geq b_2 \geq \dots \geq b_n$

Ta được:

$n(a_1b_1 + a_2b_2 + \dots +a_nb_n) \geq (a_1 + a_2 + \dots +a_n)(b_1 + b_2 + \dots +b_n)$

Ta có:

$a_1b_1 + a_2b_2 + \dots +a_nb_n =a_1b_1 + a_2b_2 + \dots +a_nb_n$

$a_1b_1 + a_2b_2 + \dots +a_nb_n \geq a_1b_2 + a_2b_3 + \dots +a_nb_1$

$a_1b_1 + a_2b_2 + \dots +a_nb_n \geq a_1b_3 + a_2b_4 + \dots +a_nb_2$

$\cdots$

$a_1b_1 + a_2b_2 + \dots +a_nb_n \geq a_1b_n + a_2b_1 + \dots +a_nb_{n-1}$

Cộng vế theo vế ta được:

$n(a_1b_1 + a_2b_2 + \dots +a_nb_n) \geq (a_1 + a_2 + \dots +a_n)(b_1 + b_2 + \dots +b_n)$