CM: \(1+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{x^{2}}{8}<\sqrt{1+x}<1+\dfrac{1}{2}x\)

Giải thích các bước giải:

 Xét \(y=f(x)=1+\dfrac{1}{2}x-\sqrt{1+x}\) trên \([0;+\infty)\)

\(y'=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2\sqrt{1+x}}\)

Ta thấy: \(y' \geq 0 \) \((x \geq 0)\)

Nên \(f(x)\) đồng biến \([0;+\infty)\)

\(f(x)>f(0)\)

\(\Leftrightarrow 1+\dfrac{1}{2}x-\sqrt{1+x}>0\)

\(\Leftrightarrow 1+\dfrac{1}{2}x>\dfrac{1}{\sqrt{1+x}}\) (1)

Xét \(g(x)=1+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{x^{2}}{8}-\sqrt{1+x}\) trên \([0;+\infty)\)

\(g'(x)=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2\sqrt{1+x}}\) 

Ta thấy: \(g'(x) \geq 0\) \((x \geq 0)\)

Dấu "=" xảy ra tại \(x=0\)

Nên \(g(x)\) đồng biến \([0;+\infty)\)

\(f(x)>f(0)\)

\(\Leftrightarrow 1+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{x^{2}}{8}-\sqrt{1+x}>0\)

\(\Leftrightarrow 1+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{x^{2}}{8}>\sqrt{1+x}\) (2)

Từ (1)(2) Suy ra: \(1+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{x^{2}}{8}<\sqrt{1+x}<1+\dfrac{1}{2}x\)