chứng minh rằng $\frac{sinx}{x}>\frac{2}{\pi}$ với mọi x thuộc (0;pi/2)
2 câu trả lời
Xét hàm số `f(x)=sinx/x` trên `(0;pi/2]`
Ta có: `f'(x)=\frac{xcosx-sinx}{x^2}=g(x)/x^2∀x∈(0;pi/2]`
Xét `g(x)=xcosx-sinx` liên tục trên `[0;pi/2]` ta có:
`g'(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx\leq0∀x∈(0;pi/2]`
`\to` `g(x)` nghịch biến trên `[0;pi/2]`
Do đó với `0<x<pi/2` ta có `g(x)<g(0)=0`
Từ đó suy ra `f'(x)=g(x)/x^2<0∀x∈(0;pi/2]`
`\to` `f(x)` nghịch biến trên `∀x∈(0;pi/2]`
`\to` `f(x)>f(pi/2)=2/pi∀x∈(0;pi/2)`
hay `sinx/x>2/pi∀x∈(0;pi/2)` (đpcm)
Đáp án:
Giải thích các bước giải: Tham khảo
Áp dụng tính chất lồi lõm của hàm số
Xét hàm số $f(x) = sinx - \frac{2x}{π}$ liên tục với $∀x ∈ [0; \frac{π}{2}]$
$ ⇒ f'(x) = cosx - \frac{2}{π} ⇒ f''(x) = - sinx ≤ 0 $ với $∀x ∈ [0; \frac{π}{2}]$
$ ⇒ f(x)$ là hàm lồi trên $[0; \frac{π}{2}]$
Ta có $ f(0) = f(\frac{π}{2}) = 0$
Theo tính chất hàm lồi : $ Minf(x) = Min(f(0); f(\frac{π}{2})) = 0$
$ ⇒ f(x) ≥ Minf(x) = 0 ⇔ sinx - \frac{2x}{π} ≥ 0 (1) $ với $∀x ∈ [0; \frac{π}{2}]$
Dấu $'='$ ở $(1)$ chỉ xảy ra khi $ x = 0; x = \frac{π}{2}$
Từ $(1)$ với $∀x ∈ (0; \frac{π}{2}) ⇒ sinx > \frac{2x}{π} ⇔ \frac{sinx}{x} > \frac{2}{π}$
Câu hỏi trong lớp
Xem thêm
