Chứng minh răng nếu a,b,c và $\sqrt[]{a}$+$\sqrt[]{b}$+$\sqrt[]{c}$ là các số hữu tỉ

Đáp án + Giải thích các bước giải:

 Ta có :

$\sqrt{a}$ + $\sqrt{b}$ + $\sqrt{c}$ = a (a $\in$ Q)

$\Longleftrightarrow$ $\sqrt{a}$ + $\sqrt{b}$ = a - $\sqrt{c}$

$\Longleftrightarrow$ a + b + 2$\sqrt{ab}$ = $a^2$ + c - 2a$\sqrt{c}$

$\Longleftrightarrow$ 2$\sqrt{ab}$ + 2a$\sqrt{c}$ = $a^2$ + c - a - b

$\Longleftrightarrow$ $\sqrt{ab}$ + a$\sqrt{c}$ = $\dfrac{$a^2$ + c - a - b}{2}$ $\in$ Q

Ta có:

$\sqrt{ab}$ + a$\sqrt{c}$ = r (r $\in$ Q)

$\Longleftrightarrow$ $\sqrt{ab}$ = r - a$\sqrt{c}$

$\Longleftrightarrow$ $r^2$ + $a^2$c - 2ar$\sqrt{c}$

$\Longleftrightarrow$ 2ar$\sqrt{c}$ = $r^2$ + $a^2$c - ab

$\Longleftrightarrow$ $\sqrt{c}$ = $\dfrac{ $r^2$ + $a^2$c - ab}{2ar}$ $\in$ Q

Chứng min tương tự ta có $\sqrt{a}$ $\in$ Q và $\sqrt{b}$ $\in$ Q

$\Rightarrow$ đpcm