Chứng minh rằng một đa diện có các mặt là những tam giác thì tổng số các mặt của nó phải là một số chẵn.

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Gọi số mặt của hình đa diện đã cho là a. Vì mỗi cạnh của tam giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai tam giác nên số cạnh C của đa diện là `C=\frac{3a}{2}.`

Vì C là số nguyên nên `3a \vdots 2` mà `3` không chia hết cho `2` nên `a \vdots 2`.

Vậy a là số chẵn hay tổng số các mặt của nó phải là một số chẵn.

Gọi số mặt của đa diện (H) đã cho là m (m ∈ Z, m ≥ 4). Vì mỗi mặt của (H) có 3 cạnh nên số cạnh của (H) là 3m. Mặt khác, mỗi cạnh của (H) là cạnh chung của đúng hai mặt nên số cạnh thực sự của (H) là 3m/2.

Vì số cạnh phải là số tự nhiên nên 3m phải chia hết cho 2 hay m phải chia hết cho 2.

Nhự vậy m phải là một số chẵn.