Chứng minh rằng $\frac{1}{1^{2}}$ +$\frac{1}{2^{2}}$ +.............+$\frac{1}{n^{2}}$ < $\frac{5}{3}$

áp dụng :

`2/(a^2)<1/(a-1)-1/(a+1)`

`⇔1/(a^2)<1/((a-1)(a+1)`

đặt :

`A=1/(1^2)+1/(2^2)+...+1/(n^2)`

`⇔A<1/(1^2)+1/(2^2) + 1/(2.4) + 1/(3.5) + ... + 1/[(n-1).(n+1)]`

`⇔A<1/(1^2)+1/(2^2) + [1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/5 + ... + 1/(n-1) - 1/(n+1)]/2 `

`⇔A<5/3 - [1/n + 1/(n+1)]/2 < 5/3`

Đáp án:k² > k² - 1 = (k-1)(k+1) 
⇒ 1/k² < 1/[(k-1).(k+1)] = [1/(k-1) - 1/(k+1)]/2 (*) 

Áp dụng (*), ta có: 
1/1^2+1/2² + 1/3² + 1/4² + ... + 1/n² 
< 1/1^2+1/2² + 1/(2.4) + 1/(3.5) + ... + 1/[(n-1).(n+1)] 
=1/1^2 1/2² + [1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/5 + ... + 1/(n-1) - 1/(n+1)]/2 
= 1/1^2+1/2² + [1/2 + 1/3 - 1/n - 1/(n+1)]/2 
= 5/3 - [1/n + 1/(n+1)]/2 < 5/3

Giải thích các bước giải:

ta có

1/1^2=1

1/2^2=1/4

1/3^2<1/(3^2-1)=1/((3-1)(3+1))=1/(2.4)

1/4^2<1/(4^2-1)=1/((4-1)(4+1))=1/(3.5)

...

1/n^2<1/(n^2-1)=1/((n-1)(n+1))

OK nha bạn! <3