Chứng minh PT: $x^{5}$ +2x-2021=0 có đúng một nghiệm thực và nghiệm đó là số dương

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

Đặt $f\left( x \right)={{x}^{5}}+2x-2021$

$\to f'\left( x \right)=5{{x}^{4}}+2\,\,>\,\,0\,\,\forall \,x\in \mathbb{R}$

$\to f'\left( x \right)$ đồng biến

$\to f\left( x \right)$ chỉ có một nghiệm duy nhất

$f\left( 4 \right)=-989$

$f\left( 5 \right)=1114$

Vì $f\left( 4 \right).f\left( 5 \right)\,\,<\,\,0$

$f\left( x \right)$ liên tục trên khoảng $\left( 4;5 \right)$

$\to f\left( x \right)$ có ít nhất một nghiệm dương thuộc khoảng $\left( 4;5 \right)$

Mà $f\left( x \right)$ chỉ có một nghiệm duy nhất

Vậy phương trình ${{x}^{5}}+2x-2021=0$ có đúng một nghiệm dương