Cho2 cấp số cộng $(x_n):4,7,10,....$ và $(y_n):1,6,11,......$ Hỏi trong 2018 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số có bao nhiêu số hạng chung

$\begin{array}{l} \left( {{x_n}} \right):4,7,10,...\\  \Rightarrow {x_1} = 4,d = {x_2} - {x_1} = 7 - 4 = 3\\  \Rightarrow {x_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 4 + \left( {n - 1} \right).3\\  = 3n + 1\\ \left( {{v_n}} \right):1,6,11,...\\  \Rightarrow {v_1} = 1,d = {v_2} - {v_1} = 6 - 1 = 5\\  \Rightarrow {v_n} = {v_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + 5\left( {m- 1} \right) = 5m - 4 \end{array}$  

Xét phương trình nghiệm nguyên

$5m-4=3n+1\Rightarrow 5m-5=3n(m,n\in \mathbb{N}, 1\le m,n\le 2018)$

Suy ra $3n\vdots 5\Rightarrow n=5k$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} n = 5k\\ 5m - 5 = 15k \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} n = 5k\\ m = 3k + 1 \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb N} \right)$

Do $n\in \mathbb{N}; 1\le m,n\le 2018$ 

$\left\{ \begin{array}{l} 1 \le 5k \le 2018\\ 1 \le 3k + 1 \le 2018 \end{array} \right. \Rightarrow 1 \le k \le 403$ 

Từ đó suy ra có $403$ giá trị $k\in \mathbb{N}$ nên có $403$  số có mặt trong hai dãy trên.