Cho x; y; z là 3 số dương thoả mãn điều kiện 1/x+1 + 1/y+1 + 1/z+1 = 2. Chứng minh: x×y×z <= 1/8

Ta có: 

`1/(x+1)+1/(y+1)+1/(z+1)=2`

`->1/(x+1)=2-1/(y+1)-1/(z+1)`

`->1/(x+1)=1-1/(y+1)+1-1/(z+1)`

`->1/(x+1)=y/(y+1)+z/(z+1)`

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm, ta có:

    `y/(y+1)+z/(z+1)>= 2\sqrt((yz)/((y+1)(z+1))`

`->1/(x+1)>= 2\sqrt((yz)/((y+1)(z+1)))`

Tương tự, ta cũng chứng minh được:

`1/(y+1)=x/(x+1)+z/(z+1)>= 2\sqrt((xz)/((x+1)(z+1)))`

`1/(z+1)=x/(x+1)+y/(y+1)>= 2\sqrt((xy)/((x+1)(y+1)))`

`->1/((x+1)(y+1)(z+1))>= 8\sqrt((yz)/((y+1)(z+1)).(xz)/((x+1)(z+1)).(xy)/((x+1)(y+1))`

`-> 1/((x+1)(y+1)(z+1))>= 8\sqrt((xyz)^2/[(x+1)(y+1)(z+1)]^2)`

`->1/((x+1)(y+1)(z+1))>= 8.(xyz)/((x+1)(y+1)(z+1))`

`-> 1 >= 8xyz` `-> xyz <= 1/8`

Dấu "=" xảy ra `<=> x=y=z = 1/2`