Cho tứ giác ABCD có 2 đg chéo AC, BD cắt nhau tại Ở. Biết diện tích của tam giác AOD và tam giác BOC lần lượt là 4cm^2; 16cm^2. Tìm diện tích nhỏ nhất của tứ giác ABCD Các bạn giúp mình bài này với hoặc gợi ý thoii cũng dc. Cảm ơn nha

Đáp án: ${{S}_{\min }}=36c{{m}^{2}}$

Giải thích các bước giải:

Đặt: ${{S}_{\Delta OAB}}={{S}_{1}}$ ; ${{S}_{\Delta OBC}}={{S}_{2}}$ ; ${{S}_{\Delta OCD}}={{S}_{3}}$ ; ${{S}_{\Delta ODA}}={{S}_{4}}$

Có: $\begin{cases}\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{OA}{OC}\\\dfrac{S_4}{S_3}=\dfrac{OA}{OC}\end{cases}\Rightarrow\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{S_4}{S_3}\Rightarrow S_1.S_3=S_2.S_4$

Có: ${{S}_{\Delta ABCD}}={{S}_{2}}+{{S}_{4}}+{{S}_{1}}+{{S}_{3}}$

$\Leftrightarrow {{S}_{ABCD}}\ge {{S}_{2}}+{{S}_{4}}+2\sqrt{{{S}_{1}}.{{S}_{3}}}$

$\Leftrightarrow {{S}_{ABCD}}\ge {{\left( \sqrt{{{S}_{2}}}+\sqrt{{{S}_{4}}} \right)}^{2}}$

$\Leftrightarrow {{S}_{ABCD}}\ge {{\left( \sqrt{16}+\sqrt{4} \right)}^{2}}$

$\Leftrightarrow {{S}_{ABCD}}\ge 36$

$\Leftrightarrow {{\min }_{{{S}_{ABCD}}}}=36$

Dấu “=” xảy ra khi ${{S}_{1}}={{S}_{3}}=8c{{m}^{2}}$

$\Leftrightarrow ABCD$ là hình thang với $AD//BC$