Cho tích phân từ 1 đến e ( 1+x ln x)dx = ae^2 + be + c với a; b ; c là các số hữu tỉ ( giải giúp mình chi tiết nha)

Đáp án:

$\begin{array}{l}
\int\limits_1^e {\left( {1 + x.\ln x} \right)dx} \\
 = \int\limits_1^e {dx}  + \int\limits_1^e {x\ln xdx} \\
 = \left( x \right)_1^e + {I_1}\left( {{I_1} = \int\limits_1^e {x.\ln xdx} } \right)\\
 = e - 1 + {I_1}\\
Đặt:\left\{ \begin{array}{l}
\ln x = u\\
xdx = dv
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{1}{x}dx = du\\
v = \dfrac{{{x^2}}}{2}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow {I_1} = \left( {u.v} \right) - \int\limits_1^e {v.du} \\
 = \left( {\ln x.\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)_1^e - \int\limits_1^e {\dfrac{{{x^2}}}{2}.\dfrac{1}{x}.dx} \\
 = \dfrac{{{e^2}}}{2} - \int\limits_1^e {\dfrac{x}{2}dx} \\
 = \dfrac{{{e^2}}}{2} - \left( {\dfrac{{{x^2}}}{4}} \right)_1^e\\
 = \dfrac{{{e^2}}}{2} - \dfrac{{{e^2}}}{4} + \dfrac{1}{4}\\
 = \dfrac{{{e^2} + 1}}{4}\\
 \Rightarrow I = e - 1 + \dfrac{{{e^2} + 1}}{4}\\
 = \dfrac{1}{4}.{e^2} + e - \dfrac{3}{4}\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \dfrac{1}{4}\\
b = 1\\
c =  - \dfrac{3}{4}
\end{array} \right.
\end{array}$