cho tam giác BCD có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O,các đường cao CM,DN của tam giác cắt nhau tại H 1.chứng minh CDMN là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn 2.kéo dài BO cắt đường tròn (O) tại K.Chứng minh CHDK là hình bình hành 3.Cho cạnh CD cố định ,B thay đổi trên cung lớn CD sao cho tam giác BCD luôn nhọn .Xác định vị trí điểm B để diện tích tam giác CDH lớn nhất

Đáp án:

a, chứng minh tứ giác CDMN nội tiếp

Gọi I là trung điểm của DC
Ta có: tam giác DMC vuông tại M
=> I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMC ( R = 1/2 DC)
=> đường tròn ngoại tiếp đi qua 3 điểm D,M,C (1)
tam giác DNC vuông tại N
=> I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DNC ( R = 1/2 DC)
=> đường tròn ngoại tiếp đi qua 3 điểm D,N,C (2)
Từ (1) và (2) suy ra: Đường tròn tâm I bán kính 1/2 DC đi qua 4 điểm D,M,N,C
=> CDMN là tứ giác nội tiếp đường tròn.

B.kéo dài BO cắt (O) tại K. chứng minh tứ giác CHDK là hình bình hành

Ta có: góc BCK = 90 độ ( góc nội tiếp chắn bởi đường kính)
BC vuông góc với ND
=> DH // KC (1)
góc BDK = 90 độ ( góc nội tiếp chắn bởi đường kính )
BD vuông góc với MC
=> HC // DK (2)
Từ (1) và (2) suy ra: Tứ giác CHDK là hình bình hành.
( c/m theo hướng xét 2 cặp cạnh đối song song với nhau)

C.Gọi I là giao điểm AH và BC, F là trung điểm của BC.

Vì khi A thay đổi trên BC cố định và ∆ ABC luôn nhọn nên H nằm trong ∆ ABC.

Nên   lớn nhất khi HI lớn nhất (BC cố định).

HI lớn nhất => AI lớn nhất  => I trùng với F.

Mà F là trung điểm của BC nên ∆ ABC cân tại A

=> AB = AC 

=> A nằm chính giữa cung BC.

Giải thích các bước giải: