Cho tam giác ABC vuông tại C , vẽ phân giác CD, đường cao CH.Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của D xuống BC,AC . Qua C kẻ (d) song song với AB cắt HF tại M và cắt HE tại N. Chứng minh CM= CN

Ta có: $\widehat{CFD}$ và $\widehat{CHD}$ cùng nhìn $CD$ dưới một góc $90^o$

$\Rightarrow$ tứ giác $CFHD$ nội tiếp đường tròn đường kính $(CD)$

$\widehat{CFD}+\widehat{CED}=90^o+90^o=180^o$

$\Rightarrow$ tứ giác $CFDE$ nội tiếp đường tròn đường kính $(CD)$

$\Rightarrow FHDEC$ cùng nội tiếp đường tròn đường kính $(CD)$

Tứ giác $CFDE$ có 3 góc $\widehat{FCE}=\widehat{DFC}=\widehat{CED}=90^o\Rightarrow $ tứ giác $CFDE$ là hình chữ nhật.

Lại có đường chéo $CD$ là đường phân giác $\Rightarrow $ tứ giác $CFDE$ là hình vuông.

$\Rightarrow\widehat{FHC}=\widehat{FDC}=45^o$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $\stackrel\frown{FC}$)

Do $MN\parallel AB\Rightarrow \widehat{HCM}=\widehat{CHB}=90^o$ (so le)

$\Rightarrow \Delta MCH$ vuông có $\widehat{MHC}=\widehat{FHC}=45^o\Rightarrow \widehat{HMC}=45^o$

$\Rightarrow \Delta CHM$ vuông cân tại $C\Rightarrow CH=CM$ (1)

$\widehat{CHE}=\widehat{CDE}=45^o$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $\stackrel\frown{CE}$)

$\widehat{HCN}=\widehat{AHC}=90^o$ (so le)

$\Rightarrow \Delta HCN$ vuông tại $H$ có $\widehat{CHN}=\widehat{CHE}=45^o$

$\Rightarrow \Delta CHN$ vuông cân tại $C\Rightarrow CH=CN$ (2).

Từ (1) và (2) $\Rightarrow CM=CN(=CH)$.