Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF = AC. Lấy điểm I sao cho AFIC là hình vuông. Kẻ AH vuông góc với BC. IF cắt AH tại E. a) Chứng minh: tam giác CAI = tam giác FAI b) AE = BC

a) Xét ΔABK=ΔIBK có:

góc IBK= góc ABK ( BK là phân giác )

IB là cạnh chung

góc BAK= góc BIK( =90 độ )

=> ΔABK=ΔIBK(cạnh huyền-góc nhọn)

b) Ta có:AH⊥BC và KI⊥BC => AH//IK

Xét ΔAKI:

Ta có:AK=IK(ΔABK=ΔIBK)

=> ΔAKI cân tại K

=> góc KAI= góc KIA

Ta có AH//KI(cmt)

=> góc HAI= góc KIA mà góc KAI=KIA

=> góc HAI= góc KAI

=> AI là phân giác góc HAC

c, Ta có ∆ABK = ∆IBK (cmt)

=> AKB= IKB (2 góc t/ứ) (3)

Từ AH // KI (cmt)

Suy ra AFK = BKI (slt) (4)

Từ (3) và (4) => AFK = AKB

=>∆AKF cân tại A

CMTT ta có : IFK = IKF

=>∆IKF cân tại I

=> IK = IF (t/c tam giác cân)

Xét ∆IKC vuông tại I có

KC > IK (ch > cgv)

=> KC > IF (5)

Xét ∆ABF và ∆IBF có

BF : chung

ABK = CBK (gt)

BA = IB (cmt)

=>∆ABF = ∆IBF (c.g.c)

=> AF = IF (2 cạnh t/ứ) (6)

Từ (5) và (6) => KC > AF

d, Xét ∆AIM và ∆AIC có

AI : chung

HAI = CAI (cmt)

AM = AC (gt)

=>∆AIM = ∆AIC (c.g.c)

=> AMI = ACI (2 góc t/ứ)

Và IM = IC (2 cạnh t/ứ)

Ta có AM = AC (gt)

=> AF + FM = AK + KC

Mà AK = AF (∆AFK cân tại A -- cmt)

=> FM = KC

Xét ∆FIM và ∆KIC có

FM = KC (cmt)

AMI = ACI (cmt)

MI = IC (cmt)

=>∆FIM = ∆KIC (c.g.c)

=> FIM = KIC = 90° (2 cạnh t/ứ)

Lại có IF cắt IM tại I

=> IF ⊥ IM tại I

Đáp án:

a) Xét ΔABK=ΔIBK có:

góc IBK= góc ABK ( BK là phân giác )

IB là cạnh chung

góc BAK= góc BIK( =90 độ )

=> ΔABK=ΔIBK(cạnh huyền-góc nhọn)

b) Ta có:AH⊥BC và KI⊥BC => AH//IK

Xét ΔAKI:

Ta có:AK=IK(ΔABK=ΔIBK)

=> ΔAKI cân tại K

=> góc KAI= góc KIA

Ta có AH//KI(cmt)

=> góc HAI= góc KIA mà góc KAI=KIA

=> góc HAI= góc KAI

=> AI là phân giác góc HAC

c, Ta có ∆ABK = ∆IBK (cmt)

=> AKB= IKB (2 góc t/ứ) (3)

Từ AH // KI (cmt)

Suy ra AFK = BKI (slt) (4)

Từ (3) và (4) => AFK = AKB

=>∆AKF cân tại A

CMTT ta có : IFK = IKF

=>∆IKF cân tại I

=> IK = IF (t/c tam giác cân)

Xét ∆IKC vuông tại I có

KC > IK (ch > cgv)

=> KC > IF (5)

Xét ∆ABF và ∆IBF có

BF : chung

ABK = CBK (gt)

BA = IB (cmt)

=>∆ABF = ∆IBF (c.g.c)

=> AF = IF (2 cạnh t/ứ) (6)

Từ (5) và (6) => KC > AF

d, Xét ∆AIM và ∆AIC có

AI : chung

HAI = CAI (cmt)

AM = AC (gt)

=>∆AIM = ∆AIC (c.g.c)

=> AMI = ACI (2 góc t/ứ)

Và IM = IC (2 cạnh t/ứ)

Ta có AM = AC (gt)

=> AF + FM = AK + KC

Mà AK = AF (∆AFK cân tại A -- cmt)

=> FM = KC

Xét ∆FIM và ∆KIC có

FM = KC (cmt)

AMI = ACI (cmt)

MI = IC (cmt)

=>∆FIM = ∆KIC (c.g.c)

=> FIM = KIC = 90° (2 cạnh t/ứ)

Lại có IF cắt IM tại I

=> IF ⊥ IM tại I