Cho tam giác ABC vuông tại A, nội tiếp đường tròn(O;R). Tia phân giác của góc ACB cắt AB tại D và cắt (O;R) tại E.Hai tia CA và BE cắt nhau tại S

a) Chứng minh tứ giác ASED nội tiếp

b) Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh ba điểm E,I,O thẳng hàng.

c) Cho R=2. Tính giá trị của T= BA.BD+CD.CE

a)

Ta có $\widehat{BEC}=90{}^\circ $ (góc nội tiếp chẵn nữa đường tròn)

Nên $CE\bot SB$ tại $E$

Xét tứ giác $ASED$, ta có:

+ $\widehat{SAD}=90{}^\circ $

+ $\widehat{SED}=90{}^\circ $

$\Rightarrow \widehat{SAD}+\widehat{SED}=180{}^\circ $

$\Rightarrow ASED$ là tứ giác nội tiếp

b)

Ta có $\Delta CSB$ có $CE$ vừa là đường cao, đường phân giác

Nên $\Delta CSB$ cân tại $E$

$\Rightarrow CE$ cũng là đường trung tuyến

$\Rightarrow E$ là trung điểm $SB$

Ta có:

+ $E$ là trung điểm $SB$

+ $I$ là trung điểm $AB$

+ $O$ là trung điểm $BC$

Nên $EI,EO$ lần lượt là đường trung bình $\Delta SAB,\Delta SCB$

Do đó $EI//SC\,\,\,;\,\,\,EO//SC$

$\Rightarrow EI\equiv EO\Rightarrow E,I,O$ thẳng hàng

c)

$\Delta SBC$ có hai đường cao $CE,BA$ giao nhau tại $D$

Nên $D$ là trực tâm $\Delta SBC$

Kéo dài $SD$ cắt $BC$ tại $H$

$\Rightarrow SD\bot BC$ tại $H$

Xét $\Delta BHD$ và $\Delta BAC$, ta có:

+ $\widehat{BHD}=\widehat{BAC}=90{}^\circ $

+ $\widehat{ABC}$ là góc chung

Nên $\Delta BHD\backsim\Delta BAC\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \dfrac{BH}{BA}=\dfrac{BD}{BC}\Rightarrow BA.BD=BH.BC\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Xét $\Delta CHD$ và $\Delta CEB$, ta có:

+ $\widehat{CHD}=\widehat{CEB}=90{}^\circ $

+ $\widehat{ECB}$ là góc chung

Nên $\Delta CHD\backsim\Delta CEB\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \dfrac{CH}{CE}=\dfrac{CD}{CB}\Rightarrow CD.CE=CH.CB\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Lấy $\left( 1 \right)+\left( 2 \right)$, cộng vế theo vế ,

Ta được: \[BA.BD+CD.CE=BC\left( BH+CH \right)\]

$\Rightarrow BA.BD+CD.CE=BC.BC$

$\Rightarrow BA.BD+CD.CE=B{{C}^{2}}$

$\Rightarrow BA.BD+CD.CE={{\left( 2R \right)}^{2}}$

$\Rightarrow BA.BD+CD.CE={{\left( 2.2 \right)}^{2}}$

$\Rightarrow BA.BD+CD.CE=16$