Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC a) Biết BH = 6cm, AH = 8cm. Tính AE, AC b) CM : AB/AC = AF/AE c) Gọi I là trung điểm của AH. Đường thẳng BI cắt AC tại M. Qua A kẻ đường thẳng song song với BM cắt BC tại N. CM : cos^2 B = AM/MC
2 câu trả lời
a) Áp dụng định lý Pytago vào $\triangle ABH$ vuông tại H có:
`AB^2 = AH^2 + BH^2`
`=> AB^2 = 8^2 + 6^2 = 100`
`=> AB = \sqrt100 = 10` (cm)
Xét $\triangle ABH$ vuông tại H, đường cao HE có:
`AH^2 = AE . AB` (1)
`=> 8^2 = AE . 10` `=> AE = 6,4` (cm)
Xét $\triangle ABC$ vuông tại A, đường cao AH có:
`1/(AH^2)=1/(AB^2)+1/(AC^2)`
`=> 1/8^2=1/10^2+1/(AC^2)`
`=> 1/(AC^2)=9/1600`
`=> AC^2 = 1600/9`
`=> AC = 40/3` (cm)
Vậy `AE = 6,4` cm; `AC = 40/3` cm
b) Xét $\triangle AHC$ vuông tại H, đường cao HF có:
`AH^2 = AF . AC` (2)
Từ (1) và (2) `=> AE . AB = AF.AC`
`=> (AB)/(AC) = (AF)/(AE)`
c) Xét $\triangle AHN$ có: $\begin{cases} BI//AN\\AI=HI\end{cases}$ `=> BN = BH`
$\triangle ABC$ vuông tại A, đường cao AH: `AB^2 = BH.BC`
$BM//AN$ `=> (AM)/(MC) = (BN)/(BC)` (ĐL Ta-let)
có: `cosB=(AB)/(BC)`
`=>cos^2B=(AB^2)/(BC^2)=(BH.BC)/(BC^2)=(BH)/(BC)=(BN)/(BC)`
mà `(BN)/(BC) = (AM)/(MC)`
`=> cos^2B=(AM)/(MC)` (đpcm)