Cho tam giác ABC vuông tại A gọi CT là đường phân giác trong của tam giác ABC a) Chứng minh đường tròn tâm K đi qua C ,T tiếp xúc với AB có tâm K thuộc BC b) Gọi AC giao với đường tròn tâm K tại D ,DB giao với đường tròn tâm K tại E. Chứng minh góc ABD =góc BCE

Lời giải:

a)

Ta có \(CT\) là phân giác góc \(\widehat{ACB}\).

\(\Rightarrow \widehat{BCT}=\widehat{TCA}=\dfrac{1}{2}\widehat{ABC}\) (*)

Đường tròn tâm \((K)\) đi qua \(T\) và \(C\) nên \(KT=KC\)

\(\Rightarrow \Delta TKC\) là tam giác cân

\(\Rightarrow \widehat{KCT}=\widehat{KTC}\) (1)

Đường tròn \((K)\) tiếp xúc với cạnh \(AB\) nên \(KT\bot AB\) mà \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(CA\bot AB\)

\(\Rightarrow TK\parallel AC\Rightarrow \widehat{KTC}=\widehat{TCA}\)(so le trong)

Suy ra \(\widehat{KTC}=\widehat{TCA}=\dfrac{1}{2}\widehat{ACB}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{KCT}=\dfrac{1}{2}\widehat{ACB}\) (**)

Từ (*) và (**) suy ra \(\widehat{KCT}=\widehat{BCT}\)

Suy ra \(C, B, K\) thẳng hàng suy ra \(K\in BC\).