Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Từ chân đường cao H , kẻ HE⊥AB (E nằm trên AB), HF⊥AC (F nằm trên AC). a) CMR: $BC^{2}$ = 3$AH^{2}$ + $BE^{2}$ + $CF^{2}$ b) CMR: $AH^{2}$ = BC × BE × CF

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Nhắc lý thuyết: Trong tam vuông $ ABC$ đường cao $AH$
ta có các hệ thức lượng:

$ AH^{2} = BH.CH (1); AB.AC = AH.BC (2)$

a) Dễ thấy $AEHF$ là hcn $ => AH = EF$

Ta có $: 3AH^{2} + BE^{2} + CF^{2} $

$ = 2AH^{2} + AH^{2} + (BH^{2} - EH^{2}) + (CH^{2} - FH^{2})$

$ = (BH^{2} + 2BH.CH + CH^{2}) + AH^{2} - (EH^{2} + FH^{2})$

$ = (BH + CH)^{2} + EF^{2} - EF^{2} = BC^{2} (đpcm)$

b) Ta có $ : AB.AC = AH.BC$

$ <=> (AB.BE).(AC.CF) = AH.BC.BE.CF)$

$ <=> BH^{2}.CH^{2} = AH.BC.BE.CF$

$ <=> AH^{4} = AH.BC.BE.CF$

$ <=> AH^{3} = BC.BE.CF$