Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Gọi E,F là hình chiếu của H trên AB,AC : a, Cho AB=6cm , AC=8cm . Tính AH b, Chứng minh $\frac{AB^2}{AC^2}$ = $\frac{HB}{CH}$ c, chứng minh: BC.BE.CF=AH$^{3}$

`a)` `AB=6cm; AC=8cm`

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông 

Xét $∆ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$

`=>1/{AH^2}=1/{AB^2}+1/{AC^2}=1/{6^2}+1/{8^2}={25}/{576}`

`=>AH^2={576}/{25}`

`=>AH=\sqrt{{576}/{25}}={24}/5=4,8cm`

Vậy `AH=4,8cm`

$\\$

`b)` Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông 

Xét $∆ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$

`=>AB^2=HB.BC`

`\qquad AC^2=CH.BC`

`=>{AB^2}/{AC^2}={HB.BC}/{CH.BC}={HB}/{CH}`

Vậy `{AB^2}/{AC^2}={HB}/{CH}` (đpcm)

$\\$

`c)` Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông 

Xét $∆ABH$ vuông tại $H$ có $HE\perp AB$

`=>BH^2=BE.AB`

Xét $∆ACH$ vuông tại $H$ có $HF\perp AC$

`=>CH^2=CF.AC`

$\\$

Xét $∆ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$

`=>AB.AC=AH.BC`

`\qquad AH^2=BH.CH`

`=>(AH^2)^2=BH^2 .CH^2=BE.AB.CF.AC`

`=>AH^4=AB.AC.BE.CF`

`=>AH^3 . AH=AH.BC.BE.CF`

(vì $AB.AC=AH.BC)$

`=>AH^3=BC.BE.CF`

Vậy `BC.BE.CF=AH^3` (đpcm)